首先贴一下芝诺悖论（以下对芝诺悖论的引述来自关天网友水穷兄的贴子）
“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。
“阿基里斯追不上乌龟”： 阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能处于运动状态。
“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。由于B保持等速移动，所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。
终极破解：
1、 “两分法”
论证中将运动的过程分成了有时间顺序的一段一段前进（或后退），设定了物体每一次前进（后退）的路程是剩下路程的一半，按此条件物体无论运动多少次，当然都无法到达终点或回到起点。
2、“阿基里斯追不上乌龟”
论证中将运动的过程分成了有时间顺序的一段一段前进，设定了后一物体
每一次只能前进到前一物体的原出发点，按此条件后一物体无论运动多少次，当然都无法超过前一物体。
3、“飞矢不动”
“时间是由瞬间组成”这个论点是错误的，时间有量的概念，而瞬间没有量的
概念，正如1并不是由0组成的。
4、“操场或游行队伍”
选择的参照物不同，所谓的等速运动不存在！
楼主说:设定了后一物体每一次只能前进到前一物体的原出发点，按此条件后一物体无论运动多少次，当然都无法超过前一物体。
但是实际上"因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。"不是一个设定,只是一个描述,而且是符合实际的描述.错误在于他不知道领先距离的和是个常数.
我觉得“飞矢不动”那个楼主说对了.
关天茶舍 芝诺悖论以及科学与哲学之关系 春风杨柳腰 2003-11-21 21:38
关天茶舍 芝诺悖论的破绽！！！ whoybwhoyb 2003-11-13 15:36
关天茶舍 以极限论来对付芝诺悖论(转载) 江上郎 2003-07-29 15:04
关天茶舍 [资料]芝诺悖论的经典错误解释 如刀 2002-10-23 11:41
关天茶舍 芝诺悖论和数学危机(转载) 风过耳朵 2002-09-10 22:41
先把这些都看完（包括回贴）再完全破解好不好
不过是重复一遍悖论的问题而已。
如有解者，愿闻其详。只是要用逻辑语言，不能用数学语言含混述之。因为这毕竟是逻辑问题，而非数学问题。以前有人说，不用数学语言解不了。那么建议在这些古代伟大“逻辑悖论”面前，就最好保持沉默，就不劳驾了。
为什么两千多年来芝诺悖论没有公认的合理解释，本质上还是对“无穷小”的认识没有突破。柯西创立了极限论（学过数学分析的应该知道这极限论（e－E语言）对微积分有何重要意义），对微积分的成立来说是充分条件，但并不意味着无穷小的含义仅仅等价于极限，无穷小要复杂的多。直到上个世纪六十年代初数学家鲁滨逊（他属于逻辑主义学派）创立了非标准分析，才真正开启了无穷小之门。
这些道理我能够在数学上搞清楚，但是俗话说的好，证明容易理解难。本人电子工程本科，数学专业硕士，目前刚好对无穷小问题感兴趣，但是感觉自己的水平还难以向非专业人氏讲清楚，也许我的水平还不够吧。因为一个好的数学家能够把最复杂的问题用最简单的语言使别人理解，我还没有这个能力，更谈不上什么完全破解。
劝告各位网友，不要在这些问题上浪费时间，用铁锤和斧子是造不出宇宙飞船的。如果真的感兴趣，就老老实实的去读读数学书和逻辑学的书，相信到那时你不会再说什么完全破解的话了。
暑假之后，如果我有时间，会写一些这方面的科普文章，请大家留意。
说了半天，也没有对芝诺悖论有任何见解，却只说些不沾边的数学。“芝诺悖论”在原则上与什么数学中的“无穷小”、“极限”毫无直接关系。即，它不个“量”的问题。这种“数学解法”在网上都解烂了。楼上还是先弄懂楼上上说的“保持沉默”的背后的简单语义后，再搞什么破解芝诺悖论不迟。呵呵。
而关于这个问题到现在还是有争论的，没有明确的结论。说不好谁对谁错。
我在中学就学过数学的论证方法，什么反证法，归纳法等等，不过这些方法在数学家眼里恐怕都是不严密的。
楼主贴的两分法的终极破解，前提是物体在运动。这就与芝诺悖论的论点（物体不可能运动）矛盾了。等于你先否定了芝诺悖论，然后得出它是错误的。
学广义相对论的也许能回答，看过一些这方面的书，广义相对论说时间空间都是扭曲的，大概能解决。两分法说的也就是时间和空间，运动和静止。可惜我看不懂相对论。
考试太忙了，过几天新挖一个坑，欢迎山顶洞来批判我这个“嘴上高手”
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呵呵，有兴趣，如果谈芝诺悖论的话。
要是光谈你的数学学业的话，就拜拜了。
作者：zhongjian1979 回复日期：2004-6-23 23:46:19
这是个数学史上的问题,没必要争了!
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有趣，看来楼上是没看过“哲学史”。
关天里确实“大词”不少。
给你讲一讲柏根森对它的理解。
柏根森区分了两种时间和认识，一是纯粹时间和物理时间，纯粹时间是真正是时间，它是不能以量化思维和形式加以描述的。而后者则把时间当作一种时间化和空间化的数理概念，具体就是把它分割成一段段独立与连贯的单位。所以，时间作为一种非空间而无形的流动体，被我们用数目加以描述，就必然会产生这个悖论。
连续性悖论。问题的实质是时空是不连续的，不是无限可分的。否则，在连续性的前提下，芝诺悖论的逻辑无懈可击。
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此乃正解。
不过严谨一点的说，是时空在芝诺悖论所涉及的物理层次上不是无限可分的。
作者：齐是 回复日期：2004-6-23 11:15:14
连续性悖论。问题的实质是时空是不连续的，不是无限可分的。否则，在连续性的前提下，芝诺悖论的逻辑无懈可击。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
此乃正解。
不过严谨一点的说，是时空在芝诺悖论所涉及的物理层次上不是无限可分的。
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此乃真知也
“阿基里斯追不上乌龟”： 阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
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最新破解：
两分法：无穷并非不可穷尽，无穷的时间点可以穷尽无穷的距离点！
阿基里斯追不上乌龟：无数个阿基里斯在乌龟后面的点，无法说明阿基里斯追不上乌龟，因为无穷的时间点可以穷尽无穷的距离点！
“阿基里斯追不上乌龟”： 阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
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最新破解：
两分法：
无穷并非不可穷尽，无穷的时间点可以穷尽无穷的距离点！
阿基里斯追不上乌龟：
无数个阿基里斯在乌龟后面的点，无法说明阿基里斯追不上乌龟，因为无穷的时间点可以穷尽无穷的距离点！
这可以用数学积分的知识来解决.
楼主也牛啊，但估计就这么三言两语的是没法打发评委会啊：）
这确实是个数学问题，还是个难缠的老问题。对于无限的认识还是太有限了。
我觉得用数学的方法可以解释，用哲学的方法也可以解释（对不对，严谨与否先不说）。无论数学也好，哲学也好都是一种“语言”，一种工具。因此有人非要说什么“与数学无关”真是有意思！
另外发现，懂得用数学的几位好像都清清楚楚地把这个“芝诺悖论”搞清楚了。而不懂数学的那几位还是一天到晚地叫嚷数学解决不了。所以在将也没有意思了。澹台错兄你也不要再搞什么科普了，关天网友里文科生和理科生是很难沟通地。
阿喀琉斯（一译阿基里斯）。快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
课前预习
关于“芝诺悖论”引发“数学危机”，有些“不了解数学和数学史的人”理解为：（1）“芝诺悖论”现象说明数学是错误的；（2）数学不能解释“芝诺悖论”现象的错误所在；（3）“芝诺悖论”现象说明数学上“极限”的定义是错误的。
对于观点（1），我的反驳是：芝诺解法并非正确的数学解法，芝诺解法错了并非数学错了。下面我会给出正确的数学解法。
对于观点（2），我的反驳是：已经有人以数学的方法解释“芝诺悖论”现象的错误所在，下面我会给出正确的数学解法。
对于观点（3），我有点无话可说了，就请有这种观点的人先看看数学上“极限”的定义，再看看是不是与你说的“极限”是一会事的？
“芝诺悖论”引发“数学危机”，我的理解是“芝诺悖论”现象说明“数学工具箱”里还缺少一把“专门”的用来描述“芝诺悖论”现象的“工具”。之所以说是“专门工具”。是因为即使不引入微积分也能用其它的数学方法证明“芝诺悖论“的错误，下面我会给出解法。
注明：1、因为输入原因limyn=A (“n－>8”在”lim“下面)，表示为yn－>A（n－>8）
2、n－>8,表示n趋于无穷大，而不是趋于数值8。
第一节：芝诺悖论现象的芝诺解法
题目：已知 1、快跑者比慢跑者快（慢跑者速度=a,快跑者速度＝b,0<a<b）——A，2、慢跑者在快跑者前面（距离为L>0）—— B。问快跑者能否追上慢跑者？
芝诺解法：
第一步：“追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。”
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第一步的数学表达：
根据条件A、B＝>当快跑者第1次到达慢跑者的出发点时，用时L/b,慢跑者前进a*L/b——（1）
根据条件A与（1）＝>当快跑者第2次到达慢跑者的出发点时，用时a*L/b^2,慢跑者前进a^2L/b^2——（2）
根据条件A与（2）=>当快跑者第3次到达慢跑者的出发点时,用时a^2*L/b^3,慢跑者前进a^3L/b^3——（3）
……
……
根据条件A与（n）=>当快跑者第n次到达慢跑者的出发点时,用时a^(n)*L/b^n,慢跑者前进a^nL/b^n——（n+1）
……
n为正整数。
(以上步骤可进行无数次)
——————————————————————————————————————————————
第二步：“以此类推”
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第二步的数学表达：
设快跑者n次到达新出发点共经过的路程为yn,慢跑者共经过的路程为y’n则很容易证明 :
1、yn->L*b/(b-a) (n->8)，yn<L*b/(b-a)
yn=L+aL/b+a^2L/b^2+a^3L/b^3＋……＋a^nL/b^n
yn－L*b/(b-a)=L*(1+a/b+a^2/b^2+a^2/b^3＋……＋a^n/b^n）－L*b/(b-a)
令u=a/b,则
①yn－L*b/(b-a)〈0
②存在N，令|yn－L*b/(b-a)|=u^(n+1)/(1-u)<e（e为任意正数）成立。
③0〈u〈1
（上面的变形推导过程略）
2、y’n->L*a/(b-a) (n->8)，y’n<L*a/(b-a)
方法类似上面。
3、yn-y’n=f(n),则0<f(n)<L,f(n)->0 (n->8)
方法类似上面。
——————————————————————————————————————————————
第三步：得出结论“快跑者永远赶不上慢跑者”
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第三步的数学表达：
得出结论：当经过任意时间t，a*t+L>b*t成立。
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第二节：芝诺悖论现象的正确数学解法
解法（一）：
第一步：
根据条件A、B＝>当快跑者第1次到达慢跑者的出发点时，用时L/b,慢跑者前进a*L/b——（1）
根据条件A与（1）＝>当快跑者第2次到达慢跑者的出发点时，用时a*L/b^2,慢跑者前进a^2L/b^2——（2）
根据条件A与（2）=>当快跑者第3次到达慢跑者的出发点时,用时a^2*L/b^3,慢跑者前进a^3L/b^3——（3）
……
……
根据条件A与（n）=>当快跑者第n次到达慢跑者的出发点时,用时a^(n)*L/b^n,慢跑者前进a^nL/b^n——（n+1）
……
n为正整数。
(以上步骤可进行无数次)
——————————————————————————————————————————————
对数学语言解读：
追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点
——————————————————————————————————————————————
第二步：设快跑者n次到达新出发点共经过的路程为yn,慢跑者共经过的路程为y’n则很容易证明 :
1、yn->L*b/(b-a) (n->8)，yn<L*b/(b-a)
yn=L+aL/b+a^2L/b^2+a^3L/b^3＋……＋a^nL/b^n
yn－L*b/(b-a)=L*(1+a/b+a^2/b^2+a^2/b^3＋……＋a^n/b^n）－L*b/(b-a)
令u=a/b,则
①yn－L*b/(b-a)〈0
②存在N，令|yn－L*b/(b-a)|=u^(n+1)/(1-u)<e（e为任意正数）成立。
③0〈u〈1
（上面的变形推导过程略）
2、y’n->L*a/(b-a) (n->8)，y’n<L*a/(b-a)
方法类似上面。
3、yn-y’n=f(n),则0<f(n)<L,f(n)->0 (n->8)
方法类似上面。
——————————————————————————————————————————————
对数学语言解读：
1、“yn->L*b/(b-a) (n->8)，yn<L*b/(b-a)”说明快跑者任意次（任意次不是永远）到达新出发点，其总共距离不超过L*b/(b-a)。
2、y’n->L*a/(b-a) (n->8)，y’n<L*a/(b-a) 说明快跑者任意次（任意次不是永远）到达新出发点，其总共距离不超过L*a/(b-a)。
3、yn-y’n=f(n),则0<f(n)<L,f(n)->0 (n->8) 说明快跑者任意次（任意次不是永远）到达新出发点，其与慢跑者都有差距。
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第三步：（这一步就是证明“任意次不是永远”）
快跑者n次到达新出发点共经过的时间yn/b,慢跑者共经过的时间y’n/a,则t(n)=yn/b=y’n/a（这里以芝诺悖论现象为低速运动系为前提，即同时的概念不严格定义）
已证明 存在N，令|yn－L*b/(b-a)|=u^(n+1)/(1-u)<e（e为任意正数）成立。
易证明 存在N，令|yn－L*b/(b-a)|/b=u^(n+1)/b*(1-u)<e（e为任意正数）成立。=>t(n)－>L/(b-a) (n->8)
（上面的变形推导过程略）
根据 yn->L*b/(b-a) (n->8)与yn-y’n=f(n),则0<f(n)<L,f(n)->0 (n->8)＝>t(n)－>L/(b-a) (f(n)->0)
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对数学语言解读：
t(n)－>L/(b-a) (n->8)说明快跑者任意次（任意次不是永远）到达新出发点是，其总共用时不超过L/(b-a)。
t(n)－>L/(b-a) (f(n)->0)说明快跑者追不上慢跑者的现象发生在时间L/(b-a)之内。
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第四步：（证明当时间大于L/(b-a)，快跑者超过慢跑者）
第五步：得出结论
当达到一定时间L/(b-a)，快跑者超过慢跑者。
第三节：芝诺解法的错误
1、已数学的眼光看，芝诺解法的错误在其第二步到第三步的推导，即：
yn-y’n=f(n),则0<f(n)<L,f(n)->0 (n->8)＝>任意时间，快跑者不超过慢跑者。
因为t(n)－>L/(b-a) (f(n)->0)说明快跑者追不上慢跑者的现象发生在时间L/(b-a)之内。
2、从逻辑上看，芝诺解法将“任意次等于永远”作为前提（也相当与芝诺悖论现象体系中的公理）。
作者：太极螳螂 回复日期：2003-11-23 19:14:29
我估计哲学家看不明白。
作者：漫思林 回复日期：2003-11-23 19:17:04
楼主，这个是哲学问题，不是数学问题，请您了解这个问题的范畴先，前面有个帖子已经说得很清楚了，虚心点，你就明白了。
作者：太空不锈 回复日期：2003-11-23 20:03:44
作者：漫思林 回复日期：2003-11-23 19:17:04
楼主，这个是哲学问题，不是数学问题，请您了解这个问题的范畴先，前面有个帖子已经说得很清楚了，虚心点，你就明白了。
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是哲学问题还是数学问题不重要。
曾经有一个数学家说过，世界上一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题。这话对不对先不论，至少它在说明一种思想——数学可以用建立对应关系的方式模拟现实。
快跑者追不上慢跑者的现象发生在时间L/(b-a)之内。只是错误的结果，不是错误的原因！
太空不锈比关天的“语言学家们”可好多了，总算不是在空磨嘴皮子，有推导过程就实在多了：) 这个澹台错放了暑假去哪歇凉了？空许了个愿就消失了！在下急性子，等不急喽，先抛砖一块：）
首先，工具不是数学的定义。数学有着自己的研究领域和一定之规，有着很强的独立性。如果搞物理、化学、生物、爆米花的愿意用数学解决各自面对的问题，作为本领域内的有效工具，数学也不会反对的。报纸可以用来垫桌子、擦饭盒，但你不能说报纸就是用来垫桌子、擦饭盒的工具，报纸只是在垫桌子、擦饭盒时起到了工具的作用。(劣质报纸除外，这类报纸是回炉做纸浆的工具。)
正像上面澹台错和江海散人说的那样，对于芝诺悖论的解决很早就开始做等价的转化了（这也正是数学的魅力之一），并且这个过程是伴随着好几代数学家的努力，伴随着人们对无限概念认识的不断深入。微积分里的无穷小是一个过程，是潜无限的观念；康托的集论则体现了实无限的思想。鲁滨逊创立的非标准分析也是对无穷小认识的一个里程碑。究竟是实无限还是潜无限，或许现在还是下不了定论。交相辉映、殊途同归吧。
几十个世纪的风风雨雨，早已把芝诺悖论的求解深入化，严格化了。抠字面、磨嘴皮子的方法已经很不合时宜了，但热情可嘉：）能用斧子、锤子造出航天飞机也是本是，但，真的能吗？如果理论上能，复杂性又允许吗？
下面看看太空不锈的证明过程。（仅看所谓的正确解法。）
解法（一）第一步的第一条就是一种错误的认识。
“根据条件A、B＝>当快跑者第1次到达慢跑者的出发点时，用时L/b,慢跑者前进a*L/b——（1）”
速度为a、b 及L/b的式子已经告诉我们阿基里斯已经完全可以追上乌龟了，这个式子保证了阿基里斯可以遍历所有乌龟经过的点。如果阿基里斯可以到达乌龟的出发点，他就一定能追上乌龟。L/b的成立保证了阿基里斯拥有了跨越无限的能力，阿基里斯到达乌龟出发点本身就是一个无限的过程，就是一个芝诺悖论中的悖论。换句话说，形如L/b的式子的出现就已经是默认了阿基里斯可追上乌龟，是在追上的前提下回答了何时追上的问题，根本不具备解决是否可以追上问题的能力。
根据太空不锈的证明，事实是阿基里斯根本就不能运动，更谈不上追乌龟了。由于太空不锈的证明过程是基于一个错误的认识，接下来的证明过程就不讨论了。欢迎各位证明了芝诺悖论的大师们继续发表高论。如果不是为了沽名钓誉，精神可嘉啊：）
数学只能说明它错了，却无法指出它错在哪里！
快跑者追不上慢跑者的现象发生在时间L/(b-a)之内。只是错误的结果，不是错误的原因！
to whoybwhoyb
不知换个说法你能不能接受：芝诺将“任意多次等于永远（时间上的永远）”，所以他错了。
1、关于数学是否工具的问题，我认为我们并不矛盾，甚至是一致的。
2、“解法（一）第一步的第一条就是一种错误的认识。
“根据条件A、B＝>当快跑者第1次到达慢跑者的出发点时，用时L/b,慢跑者前进a*L/b——（1）”解法（一）第一步的第一条就是一种错误的认识。
“根据条件A、B＝>当快跑者第1次到达慢跑者的出发点时，用时L/b,慢跑者前进a*L/b——（1）”
速度为a、b 及L/b的式子已经告诉我们阿基里斯已经完全可以追上乌龟了，这个式子保证了阿基里斯可以遍历所有乌龟经过的点。如果阿基里斯可以到达乌龟的出发点，他就一定能追上乌龟。L/b的成立保证了阿基里斯拥有了跨越无限的能力，阿基里斯到达乌龟出发点本身就是一个无限的过程，就是一个芝诺悖论中的悖论。换句话说，形如L/b的式子的出现就已经是默认了阿基里斯可追上乌龟，是在追上的前提下回答了何时追上的问题，根本不具备解决是否可以追上问题的能力。" ——哈哈，有意思的一段！
下面是我的一个跟帖（http://www2.tianyaclub.com/New/PublicForum/Content.asp?flag=1&idWriter=0&Key=0&idArticle=76910&strItem=no01），也许可以回答这些问题，春风杨柳腰也是一个不错的老师。
作者：太空不锈 回复日期：2003-11-23 18:44:56
春风杨柳腰,细细读过你的贴，基本接受你的总论点，发现也有着和你相似的愿望。我是如此喜欢你充满激情的论证，但我又是如此无法喜欢你缺乏理性的论证。我就谈谈几个不同意见，不是要辩论，只是希望你的论证能严谨一点。
1、“所有悖论都是无解的，它反应了人类思维的根本局限性。能够解决的“悖论”不是真正的悖论。”
悖论是一定理论体系的悖论，它反应了对应理论体系的局限性，当理论体系的局限性被“克服”（比如加限制条件、合理忽略、补充条件等），悖论中的不合理现象自然就不存在了。
“人类思维的根本局限性”到底是什么？可能有不同的说法，我认为人类容易将日常的经验当作真理可以算人类思维的局限性之一。（春风杨柳腰啊，这点是看了你的东东后有感而发的，也算针对你吧！请不要介意。）
2、数学的意义是什么？（纯数学就不说了）
“一个小学生能够用距离除以速度差的公式很容易求出阿基里斯追上乌龟的时间，但我们能够说他“理解”并“攻克”了芝诺悖论吗？现代人用求时间系列极限的方式算出了阿基里斯追上乌龟的时间，便自以为在智慧上远远超越了两千多年前的芝诺，是犯了同样愚蠢的错误。”
从来不认为芝诺算不出阿基里斯追上乌龟的时间，也不会以为芝诺愚蠢得不知道阿基里斯能追上乌龟。
其实现代人应用数学的目的并不是“用求时间系列极限的方式（数学上有“数列的极限”的说法）算出了阿基里斯追上乌龟的时间”。常识告诉我们阿基里斯追乌龟实际有“追”“追到”“超过”阶段，数学通过建立各种对应关系，各种变形推导，得到一些表达示，表达式分别有各自的意义，根据不同的表达式我们可以知道不同时刻发生的事实。
比如，一枚导弹可以不必发射就知道它的轨迹等等。
3、“科学止步的地方，就是哲学运思的空间。”
有种说法是知识越多越无知。在一张白纸上，有一个圆，圆内表示一个人的知识，圆外表示一个人不知道的东西。圆越大人就接触到越多的不知道的东西。从这个意义上说，科学家比一般人无知的多。不过科学家是知道的无知，而一般人是不知道的无知。
“对这类问题的思考是超出了人类有限的认识能力的，而这就是悖论出现的原因。我们不得不惊叹康德那神明般的洞察力： 他早就发现了人类的二律背反，它来源于人类试图超越此岸思考无限的野心。”
我也不想狂妄，也不想有什么野心。那就让我们一起“不知道的无知”，就让我们今天相信世界是上帝造的，明天相信世界的本源是物质的，后天我们突然发现一切都是幻觉……哲学那么多流派，我们应该相信谁？
我不敢假设没有“狂妄”的科学的世界会是什么？
“科学止步的地方，就是哲学运思的空间。”多好的口号啊！
4、芝诺悖论、有限能否包含着无限、思想局限。
（1）关于芝诺悖论，春风杨柳腰请让我们来一场对话吧！
春风杨柳腰：“其实，只要企图用科学的方法解决芝诺悖论，本质上都和那个小学生一样，滑过了芝诺悖论最核心的问题，无异于隔靴搔痒。芝诺并没有愚蠢到认为飞毛腿真的追不上乌龟，他只是向人类的智力提出挑战。面对如潮水般涌来的数学公式和各种科学论证，芝诺会平静的发问：尊敬的先生们，你们都对。可请你们指出我的论证本身有什么错误好吗？”
我：“好的！”
春风杨柳腰：“是啊！芝诺有什么错误？”
我：“有啊，当然有！”
春风杨柳腰：“难道飞毛腿在追上乌龟之前，他和乌龟之间距离的一半（中点）不是他必须跨越的吗？”
我：“必须吗？好吧好吧，就算必须。”
春风杨柳腰：“难道在他跨越这段距离的时间内，乌龟（无论多慢！）不是又移动了一段距离吗？”
我：“好吧，这一点也当我承认了。”
春风杨柳腰：“依次类推，难道飞毛腿不要永远落在乌龟的后面吗？”
我：“慢点，慢点！怎么就依此类推出来了？你的意思是飞毛腿要无数次落在乌龟的后面？还是永远落在乌龟的后面？如果是无数次，我理解。如果是永远我就不明白了，请你证明无数次落在乌龟的后面是永远好吗？”
春风杨柳腰：“芝诺的论证究竟有什么错误？回答应该是：没有！”
我：“天，他明明错了！”
春风杨柳腰：“他的每一步推理都无懈可击！”
我：“可我还是觉得，他的以此类推是如此草率，如此不严谨！”
春风杨柳腰：“你用科学的方法求出飞毛腿追上乌龟的时间又有什么用？”
我：“如果要用“飞毛腿”打乌龟，我想还是有点用的，至少提高一点命中率。哈哈”
春风杨柳腰：“这不仅没有解决问题，反而使悖论更加尖锐了：人类的思维竟说明不了一个如此简单的生活常识！”
我：“？？？我认输。”
（2）有限能否包含着无限？
先说一下芝诺悖论与有限能否包含着无限的关系。
有人认为芝诺悖论的错误在于：芝诺悖论体系的时空是线性的，而客观的时空是非线性的，故产生了悖论。
我觉得算个办法，但不严谨。首先，“芝诺悖论体系的时空是线性的”，OK这点大家有共识，因为他就是这么设定的（可以无限的分割时空）。“客观的时空是非线性的”是否成立？虽然量子力学提供了一定的理论支持，但人类的时空知识毕竟还是如此的有限，我觉得最好不要这样证明之诺的错。其次，即使这样证明了芝诺的错误，也只是证明芝诺悖论现象不可能发生在客观世界，但并不能证明在芝诺悖论体系的世界里也不发生。
而数学正是假设（注意是假设）时空是线性，然后证明即使时空是线性的飞毛腿一样能追上乌龟。有人隐约感觉到这个时空线性的假设可能与客观不符，于是高呼“有限包含着无限荒谬”，进而说数学失败在各种悖论面前，还有“问题恰恰就出在人类企图思考“无限”的狂妄野心上”……面对这些我发出诸如“有人不但缺乏数学知识，而且缺乏数学思想”、“现在的问题是有人在没搞懂数学的时候就说数学错了”。（哈哈，为这话结构还悲哀了一把。）
让我简单地谈谈这个假设的意义吧！线性通俗的说就是连续，时空到底连不连续，我现在不敢也没有必要断言，那么至少就有三种情况（哈哈，我暂时这么说，其实三种都是错的。）：
A情况：不连续，时空不能无限分割，各点表示最小的时空元素。
…………………………（哈哈，最朴素的时空模型）
B情况：连续，时空不能无限分割
_______________________
c情况：连续也不连续，
— — — — — —
数学假设（注意是假设）时空是线性，然后证明飞毛腿追上了乌龟，即在B情况。因为A是C的特例，C又是B的特例。证明了B也就证明了A与C。说到底只是个方法而已，不影响证明结果。
如果你不同意，OK我也可以按你说的有限的时空不能包含无限，假设时空是非线性的，即情况A。这样事情就简单了。下面是假设的空间模型。时间的就不画了。
。 。 。 。 。 。
1 2 3 4 5 6
在时空是非线性的假设下，运动是跳跃的，我们定义一个最小单位时间完成一个最小单位空间的跳跃为速度1，如果飞毛腿在1位置速度为3，乌龟在3位置速度为1。经过一个最小单位飞毛腿跳到4，乌龟也到达4。现在问题就出来了：飞毛腿追上乌龟不必经过乌龟曾经经过的点，芝诺悖论不存在了。
这个证明不知认为有限的时空不能无限分割的诸位是否满意满意吗？
有限能否包含着无限？能，至少理论上能。
“有限里面怎么竟包含着无限？这难道不是彻底的荒唐吗？”一点都不荒唐。
（3）思想局限
“在浩如烟海的数学文献中，有哪一个数学家真正说透了“极限”概念的含义？”无数本高数里都有极限的定义。定义的意思就是对内涵的规定，相当于说“什么是什么”，白纸黒字，童叟无欺，明明白白。
“什么叫极限？是“无限接近却永远不可能达到”。真是匪夷所思！”真是匪夷所思，极限居然是“无限接近却永远不可能达到”。看来春风杨柳腰和我当中，至少有一个忘记了极限的定义。
真正荒唐的是什么？
“因为在这有限的两分钟内，玻璃球应该被倒无限次！”
“在这个悖论里（超级任务），我们可以精确求出该过程的时间极限：两分钟！”
我开始不知道，芝诺悖论和超级任务悖论到底是春风杨柳腰武器还是春风杨柳腰的靶子？
（可能是我断章取义了，也可能我理解错了，如果是就当我没说过。）
那个话怎么说来着，啊，比大地广阔的是大海，比大海关扩的是天空，比天空广阔的是人的思想。
爱因斯坦曾经说过：一只二维世界的虫子很难想象三维世界，因为它只能看到二维的世界。任何人都不是二维世界的虫子，都可以想象三维的世界。
5、关于超级任务。
（1）这个超级任务悖论是个悖论吗？
“如果它在某一个盘子里，就意味着最后倒盘的次数不是奇数，就是偶数。由于根本没有最后一次，所以两种可能性看来都排除了。”（虽然是这个解法是有逻辑错误的，也就将就着用这个结果吧。）球两个盘子都不在就是答案（先不要匪夷所思或者大呼荒唐）。如果这个答案与现实不符，我们叫他悖论，如果相符它还叫悖论吗？现在没有人能知道实际的答案是什么，谁要是说球不可能消失，请做过试验看看。“球始终存在”严格的说只是一种假设，既然是假设怎么证明超级任务是个悖论？
(2)我的解法，欢迎讨论。
第n次抛球经历时间为t（n）,t（n）＝1＋1/2＋……＋1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1),(单位为分)
当时间为t分时，可以根据不等式组，{ t>t（n）,t<t（n+1），[n]},([n]表示取整)，如[n]为偶数，球在盘子A，为奇数球在盘子B。
当t>=2时,t<t（n+1）无解，这意味着两分时，球不在盘子A、B中。
哈哈，很有意思的答案。
（3）球到哪里去了？
如果引入速度，我们发现球说不定到另一个世界去了。
设A，B盘空间距离为L，L>0，则，
无穷大机器第n次抛球达到的速度为L*2^(n-1),
当 n>log2c/L时， L*2^(n-1)>c （c为光速）
所以，当n足够大时，小球的速度达到并超过光速，根据爱因斯坦的狭义相对论，（本宇宙）极限速度为c，小球速度达到并超过光速说明小球已经不在我们的世界了。
我现在在想，头脑大哥会不会想到“呵呵，区区小题就难倒了“站在颠峰上”的“数学天才们”。所以说，让他们下来是为了保护他们，他们却老大不舒服。那就在上面解题吧……嘿嘿”这几个字，实际是一些1，0，1……呢？
可能我说的太多了，但说这么多是因为我尊重思想着的人，也尊重他们的观点（即使我不同意），结构兄和春风杨柳腰的贴，我都认真看过，感想是看到不同的思想是一件愉快的事。
只能提一下了.
关于上面的证明，关键是不能引入一般的物理运动公式，这类公式的使用是在确认能追上的前提下来确定时间的。对于能不能追上的问题不能解决，解决的只是是何时追上。
芝诺悖论是对极限概念的一种表述，本质和物理环境无关，更谈不上口头的抠字眼了。个人感觉目前是无法解决，还有待于对无限概念的进一步认识。其实数学在这二千多年来所取得的成果已经不小了，但对无限得认识还是太有限了。
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太空不锈兄：“任意多次等于永远（时间上的永远）”是推论的结果，当你运动无限次都无法超过某个点，我们当然可以得出结论，你永远无法超过某个点，这里“永远”不论是什么属性的概念，这个结论都是可以成立的！
数学模式现实？谁说的？怎么模式？两个抽象的“点”能赛跑？什么是点？当你的“点”已经超越人的观测能力的极限时（注意：不是数学极限，而是“观测能力的极限”，哪怕是物理学的点），速度这个东西还能存在？？？速度不存在了，快慢还存在？快慢不存在了，还有谁在“追”呢？哈哈。又转为在纸上画龟兔的代表点或箭头吗？典型的直观性循环哦！
芝诺悖论在逻辑上没有错误，芝诺悖论错在“在同一逻辑结构中没有同一的、确定的概念”，也即：龟兔─〉物理点─〉数学坐标点这些不同的东西不能串连着处在同一逻辑结构之中。如果说芝诺悖论可以以数学来解决，那就意味着数学与逻辑的对立，这是不可能的！逻辑说追不上，数学更追不上，就这么简单。因为数学本身就是建立在逻辑基础之上的，一个东西不可能自己证明自己，揪头发不能把自己提
起来。
作者：太空不锈 回复日期：2004-7-23 21:59:46
作者：whoybwhoyb 回复日期：2004-7-23 14:12:42
数学只能说明它错了，却无法指出它错在哪里！
快跑者追不上慢跑者的现象发生在时间L/(b-a)之内。只是错误的结果，不是错误的原因！
to whoybwhoyb
不知换个说法你能不能接受：芝诺将“任意多次等于永远（时间上的永远）”，所以他错了。
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太空不锈：
“任意多次”是个数学概念，而“永远”是个与现实时间不可分的“运动现象”，既然如此，还能在数学内部来解释芝诺悖论吗？纯数字之间的关系能涉及倒现实中的运动规律吗？也就是说，你即认为“芝诺将‘任意多次等于永远（时间上的永远）’，所以他错了”，又认为“芝诺悖论可以以数学解决”，那就是矛盾的。
比如，你的“芝诺将‘任意多次等于永远（时间上的永远）’，所以他错了”这个结论难道是你以上的数学算式算出来的？如果不是，而你这个结论又是对的，那不恰恰说明你那些数学算式都是废话了吗？
“芝诺将‘任意多次等于永远（时间上的永远）’，所以他错了”这个结论显然是哲学思考的产物，“芝诺悖论”也只能是超所有科学学科的哲学问题，因为该悖论的描绘内容本身就是超越任何具体科学学科的领域对象的。
佩服以上各位的求知精神，学习一下。
“……是数学的”，“……是哲学的”，“……是逻辑的”，如果我们纠缠在这些提法上，真的很难说清楚。
“ 太空不锈兄：“任意多次等于永远（时间上的永远）”是推论的结果，当你运动无限次都无法超过某个点，我们当然可以得出结论，你永远无法超过某个点，这里“永远”不论是什么属性的概念，这个结论都是可以成立的！”
“也即：龟兔─〉物理点─〉数学坐标点这些不同的东西不能串连着处在同一逻辑结构之中。”
以上两段话我觉得正代表了引起争论的焦点之一：有限的是否无限可分？时空是连续的，还是不连续的？我想试着把各种情况进行分类假设，看能否与结构、whoybwhoyb两位达成共识（我楼上的帖子已经说过了，再次重复，可能两位没有细看）。
情况1：时空是不连续的。
在这种情况下，兔子不一定要经过“中点”才能追上乌龟。
情况2：时空是连续的，芝诺悖论中显然默认了这点。
在这种情况下，任意多次动作不必要任意多的时间。
whoybwhoyb说“这里“永远”不论是什么属性的概念”，我是把“永远”理解成时间概念的。如果“永远”不是一个时间的概念，芝诺悖论也就没有什么不合理的地方了，也就不叫什么悖论了。
不过芝诺悖论的意义仍旧不能低估，他是人类无穷与极限思想的启蒙。事实上仅仅在三百年前，人们仍旧无法理解康托的关于无穷集合的理论，我们能够看到这个问题的实质，只是站在巨人的肩上而已
另外，芝诺悖论早在三百年前已经获得正确的解答，不过马克思是没有说中这个问题的要害的
to 结构
1、“纯数字之间的关系能涉及倒现实中的运动规律吗？”能的，曾经有一个数学家说过，世界上一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题。这话对不对先不论，至少它在说明一种思想——数学可以用建立对应关系的方式模拟现实。
人类不是一直在这么做吗？神5上天不就用了吗？
2、“也就是说，你即认为“芝诺将‘任意多次等于永远（时间上的永远）’，所以他错了”，又认为“芝诺悖论可以以数学解决”，那就是矛盾的。
”
“比如，你的“芝诺将‘任意多次等于永远（时间上的永远）’，所以他错了”这个结论难道是你以上的数学算式算出来的？如果不是，而你这个结论又是对的，那不恰恰说明你那些数学算式都是废话了吗？”
关于“芝诺将‘任意多次等于永远（时间上的永远）’，所以他错了”，结构可能没有仔细看我上面的文字。正如你说的它正是算出来的。我就简要的再重复一次。
通过计算，（1）“yn->L*b/(b-a) (n->8)，yn<L*b/(b-a)”说明快跑者任意次到达新出发点，其总共距离不超过L*b/(b-a)。
（2）y’n->L*a/(b-a) (n->8)，y’n<L*a/(b-a) 说明快跑者任意次到达新出发点，其总共距离不超过L*a/(b-a)。
这些数学上的表达式就说明了无数的次数不要无限的时间，而且它不是凭空得出的，而是一步步推导出来的。
我比较（不是完全）同意结构说的：“因为数学本身就是建立在逻辑基础之上的，一个东西不可能自己证明自己，揪头发不能把自己提起来。”
“事实上这些悖论每个都是犯了（隐含的）基本假设不成立的错误，比如阿基里斯追乌龟的问题，芝诺事先假设了一个逻辑上的无穷步骤的过程必须要在无穷的时间发生，事实上这是错误的，无穷多个步骤是可以在有限的时间内发生的（想知道更详细的解释，请了解一点现代科学理论的常识吧）。其它几个悖论都是犯了同样的错误”
^_^，太高兴看到这些，又多了位观点相同的人。
两分法：
这个悖论假设了一个与运动无关的、独立的空间背景，而事实上，空间只是我们用来标示运动的一个视角和标尺。
“物体向着一个目标运动”可以等效表述为“物体的运动改变了它与目标之间的空间状态”。
运动是高于空间的，运动的发生并不需要以消解悖论中的“无穷”为条件。
飞矢不动：
这个悖论是基于“时间由瞬间组成”的假设，对这个论点的证伪就是对此悖论的破解。
我们观念中的“瞬间”，只是对永恒运动者的一种模拟把握，它本身亦是一种视角，并非运动者本身真有一个暂停的瞬间，运动的持续本身是不可分割，时间也不是由一个个的“时间因子”拼起来的、独立于运动之外的背景。
这种种的迷茫都是因为不了解时间只是我们对运动的一种视角，不了解“瞬间”仅仅是认知中的一个方便假设。
操场或游行队伍：
同理，这个悖论的根源也是错把时空看作独立于运动之外的背景。
其实这种早已解决的问题去查查书就明白的，何必。
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这个说得一点没错啊，根本就是个极限问题，高中数学课本上就有类似的题目，这种东西有什么好吵的。
形如L/b的式子是不能解决能否追上的问题，使用这类式子的前提就是已经肯定了阿基里斯可以追上乌龟。
我比较（不是完全）同意结构说的：“因为数学本身就是建立在逻辑基础之上的，一个东西不可能自己证明自己，揪头发不能把自己提起来。”
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很遗憾，但事实是数学与逻辑没什么关系，尽管数学是遵循逻辑的。如果数学可以归到逻辑这个基础的话，歌德尔不完备性定理就是废话了，罗素的目标也在上个世纪初就实现了。感谢哥德尔划清了美丽的数学与娇柔刻板的逻辑的界限。逻辑的数学化或许是最好的逻辑了，数理逻辑就是个亮点：）
如果说芝诺悖论可以以数学来解决，那就意味着数学与逻辑的对立，这是不可能的！逻辑说追不上，数学更追不上，就这么简单。因为数学本身就是建立在逻辑基础之上的，一个东西不可能自己证明自己，揪头发不能把自己提起来。
我比较（不是完全）同意结构说的：“因为数学本身就是建立在逻辑基础之上的，一个东西不可能自己证明自己，揪头发不能把自己提起来。”
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很遗憾，但事实是数学与逻辑没什么关系，尽管数学是遵循逻辑的。如果数学可以归到逻辑这个基础的话，歌德尔不完备性定理就是废话了，罗素的目标也在上个世纪初就实现了。感谢哥德尔划清了美丽的数学与娇柔刻板的逻辑的界限。逻辑的数学化或许是最好的逻辑了，数理逻辑就是个亮点：）
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LoneTraveler，你最后那句中的“数理逻辑”，是指“把逻辑语言符号化”？还是指“数理的逻辑基础”，两者不可混淆。
芝诺悖论本是个纯逻辑和数学的问题，但当说它是个悖论时，就犯了哲学的错误，因为所谓芝诺悖论，并不是逻辑与事实之间的矛盾所构成。
一，抛开地面这个参照物并且我们始终与龟保持同步运动的话，实际上就是“向我们运动的兔子”能否到达我们这个“静止点”的问题。
二，我们可以先在理论上说明兔子能否到达我们。在兔子跑之前我们就可以想：假使兔子跑了（相隔距离）“L”的一半时，还有1/2“L”，然后还有1/4“L”，还有1/8“L”．．．，如此类推。显然，这样的问题与兔子是否真正的向我们跑过来没有关系，而仅与无穷分割有关系。芝诺悖论说的仅是“无穷分割”，与兔子和龟的什么运动完全无关。
三，芝诺悖论不依任何具体时空单位也能在逻辑上成立。因此，它们是与时空没有关系的纯逻辑递归的问题，属无穷递归。即问题实质就是“（设想无穷次的）一半的一半的一半．．．，如此一来，最初始的相隔距离L与任何告一段落的分割的所剩距离完全等值。这是一个完全没有任何本质进展的纯逻辑过程，也就是如前所说，它与“兔追不上龟”两者风马牛不相及，根本无所谓什么矛盾不矛盾。
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数学是通过运算单位才能与现实世界发生关系的。没有给予确定的时空单位，数学无法模式世界。就像逻辑学中的句型分析，如果没有日常语言概念的填入，它们就不表达思想而只表达逻辑自己。
我们希望有人能够也用简单的逻辑推理来直接证明这些悖论的错误，好象很难哦。
“什么叫极限？是“无限接近却永远不可能达到”。
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真够老的，这是那辈子的定义呀？“极限”的个很具体的 数! 啊！
人类2千年前在形式逻辑里挖了个坑，跳上跳下做做心智体操。
现代人早把这个坑给给填上了，还种上了大树，早就已经开始用玩蹦极的方式做体操了。
笔误应为：“极限是个很具体的 数！啊”
都有具体数了，比比大小不就追上了吗？
太空不锈:
形如L/b的式子是不能解决能否追上的问题，使用这类式子的前提就是已经肯定了阿基里斯可以追上乌龟。
哈哈，不对哦。L/b如果有解则阿基里斯可以追上乌龟，如果无解就追不上，好像很多人觉得列出表达式就意味着有解，就肯定结果，其实不然。
数理逻辑，离散数学概念下的一个分支，形式化的运算。我不关心所谓的“数理的逻辑基础”，数学有数学自己的一定之规，用不着弄个逻辑基础做茧自束。几千年前的芝诺悖论就是被逻辑争论弄的一团浆糊，随着数学的不断发展，对芝诺悖论的认识早就跳出了逻辑废话的怪圈，21世纪的各位何必死抱着逻辑不放呢！
数学曾经危机重重，曾经是物理化学的附庸，曾经险些被等价于逻辑，但现在的情况已经大为改观了，数学就是数学。客观的物理世界具备着数学的属性，用不着什么运算单位再与现实世界发生关系。
代数式L/b不成立的条件是b为0，此处b代表速度，你所要讨论的问题不就成了这个b所代表的物体能不能运动，或运动存不存在了吗？
要么b不为0，所以使用代数式L/b确定何时追上；要么b为0，不存在运动，也就根本追不上。所以形如L/b的式子能够使用的前提就是能追上，回答不了能否追上。
............................................
数理逻辑从来不是离散数学下的一个分支。数理逻辑，就现在是作为数学基础的一部份存在的。离散数学，只不过是面向本科生的一个数学概念的筐而已。
“形如L/b的式子能够使用的前提就是能追上，回答不了能否追上。”
很多人如此认为。
L/b大于零，则在未来时间L/b追上，若L/b小于零，则在在时间L/b之前已经追上，也就是所谓追不上，类似L/b等于零就不说了（LoneTraveler你已经说道了）。若L/b无解，也是追不上。在我看了，L/b的计算结果（不是式子本身）上才看出问题的。
当然，L/b是个很简单的表达式，我们又知道L、b都大于零，所以很快可以判断出可以追上，但是如果不能确定L、b呢？
假设b小于零（运动的方向反了），还是表达式L/b，我算出来的结果就是追不上。可见L/b并不以能追上为前提。
数理逻辑，离散数学概念下的一个分支，
............................................
数理逻辑从来不是离散数学下的一个分支。数理逻辑，就现在是作为数学基础的一部份存在的。离散数学，只不过是面向本科生的一个数学概念的筐而已。
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重复一遍我的话是什么意思？或者数理逻辑不是离散数学概念下的一个分支？把具有离散性的数学学科划在一个离散数学的概念里不行吗？这个“筐”不是为了学校里的本科生编的吧。
L/b等于零是因为L为零，而不能是B为零，所以你的理解并不是我说的意思，为零不是无意义。应该在确定有意义的情况下再使用L/b，而不是把确定和使用搅到一起。另外，L的确定势必会涉及到极限的问题，最后的那个无穷小的坎不是这么绕过去的。
既然芝诺可以“如此类推，以至无穷（分割）”，为什么不可以存在无穷小呢？无穷小和任意次分割只不过是一个事务的两面罢了。
“L/b等于零是因为L为零，而不能是B为零，所以你的理解并不是我说的意思，为零不是无意义。”哈哈，是我疏忽了，抱歉。
............................................
数理逻辑从来不是离散数学下的一个分支。数理逻辑，就现在是作为数学基础的一部份存在的。离散数学，只不过是面向本科生的一个数学概念的筐而已。
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重复一遍我的话是什么意思？或者数理逻辑不是离散数学概念下的一个分支？把具有离散性的数学学科划在一个离散数学的概念里不行吗？这个“筐”不是为了学校里的本科生编的吧。
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基本上可以认为是给本科生编的。
现代逻辑几部份：公理化集合论、证明论、模型论、递归论
而现代逻辑往往以代数为工具，基本代数概念也是离散数学的一部分。图伦又是拓扑的一支。有些离散数学包含了Aotumata 也就是自动机、递归论。
离散数学这个筐也太大了吧。实际上在数学的研究领域，是没有离散数学这个学科的。对数学系的学生也是没有的。只有对计算机相关学科的本科生才有这门课。是一门课，而不是学科。
"最后的那个无穷小的坎不是这么绕过去的。"你看还是有限无限的问题。
既然芝诺可以“如此类推，以至无穷（分割）”，为什么不可以存在无穷小呢？无穷小和任意次分割只不过是一个事务的两面罢了。
“L/b等于零是因为L为零，而不能是B为零，所以你的理解并不是我说的意思，为零不是无意义。”哈哈，是我疏忽了，抱歉。
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太空不锈:
按我的理解，一个没有计算单位的纯数学的极限，比如芝诺悖论中的无穷分割，“无穷小”不存在，因为如我前面所述：“最初始的相隔距离L与任何告一段落的分割的所剩距离完全等值”。纯数字之间的所谓大小，严格地说，其实并无大小区别而只是层次的不同。或者说其大小的值只能落实在一种纯逻辑结构中。
比如：
1；1/2；1/4。当赋予每组同样的单位比如“米”，它们就有大小，并且大小与数据的逻辑层次一致；如果分别给予不同的单位如“1毫米米”；“1/2厘米”；“1/4米”，它们也有大小但这种大小关系与数据之间的逻辑层次关系不一致；如果没有单位，1与1/4的差别不是大小而是层次，1/4比1低两个层次，层次即逻辑结构。把这种逻辑结构直接理解为真实的时空关系才会构成悖论。
结构：
数理逻辑，离散数学概念下的一个分支，形式化的运算。我不关心所谓的“数理的逻辑基础”，数学有数学自己的一定之规，用不着弄个逻辑基础做茧自束。几千年前的芝诺悖论就是被逻辑争论弄的一团浆糊，随着数学的不断发展，对芝诺悖论的认识早就跳出了逻辑废话的怪圈，21世纪的各位何必死抱着逻辑不放呢！
数学曾经危机重重，曾经是物理化学的附庸，曾经险些被等价于逻辑，但现在的情况已经大为改观了，数学就是数学。客观的物理世界具备着数学的属性，用不着什么运算单位再与现实世界发生关系。
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LoneTraveler，1＋1＝2 这个数学式子模式了现实世界中的什么？
“数理逻辑”这个概念一般是指客观上体现在，包含在数学之中的更内在的逻辑原理，所以，当你说“用不着弄个逻辑基础做茧自束”时，我认为你是错了，因为“数理逻辑”与“数学自己的一定之规”不是矛盾的，更重要的是：“数理逻辑”不是人主观上硬塞进数学中的东西。
我并没有说不存在无穷小这个概念啊，关键是你怎么去认识它，在认识的基础上去处理它。
在你的证明中我看不出你是怎么解决这个无穷小的，你的原话是“根据条件A、B＝>当快跑者第1次到达慢跑者的出发点时，用时L/b,慢跑者前进a*L/b——（1）”从第一步你就是在一个能追上的前提下做的证明——即“当快跑者第1次到达慢跑者的出发点时”这个证明回答不了阿基里斯能不能到达乌龟的起点的问题。如果阿基里斯能够到达乌龟的出发点，他就一定能追上乌龟，接下来只是个速度与时间的问题，这下才轮到L/b出场了。
现代逻辑几部份：公理化集合论、证明论、模型论、递归论
而现代逻辑往往以代数为工具，基本代数概念也是离散数学的一部分。图伦又是拓扑的一支。有些离散数学包含了Aotumata 也就是自动机、递归论。
离散数学这个筐也太大了吧。实际上在数学的研究领域，是没有离散数学这个学科的。对数学系的学生也是没有的。只有对计算机相关学科的本科生才有这门课。是一门课，而不是学科。
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大筐不见得是坏筐。离散数学这个概念很好地抽象了刚才你说的以及你没说的一大堆具体学科的概念。我认为离散数学这个概念是由于计算机科学的发展提出的，不单纯是一个教学概念。
1；1/2；1/4。当赋予每组同样的单位比如“米”，它们就有大小，并且大小与数据的逻辑层次一致；如果分别给予不同的单位如“1毫米米”；“1/2厘米”；“1/4米”，它们也有大小但这种大小关系与数据之间的逻辑层次关系不一致；如果没有单位，1与1/4的差别不是大小而是层次，1/4比1低两个层次，层次即逻辑结构。把这种逻辑结构直接理解为真实的时空关系才会构成悖论。
LoneTraveler，1＋1＝2 这个数学式子模式了现实世界中的什么？
“数理逻辑”这个概念一般是指客观上体现在，包含在数学之中的更内在的逻辑原理，所以，当你说“用不着弄个逻辑基础做茧自束”时，我认为你是错了，因为“数理逻辑”与“数学自己的一定之规”不是矛盾的，更重要的是：“数理逻辑”不是人主观上硬塞进数学中的东西。
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1；1/2；1/4没有单位就不能比大小吗？！1米与1/2米的大小是怎么比出来的？！1吨和1/2吨的大小呢？别告诉我你是用尺子和称量出，用眼睛看出来的。“1与1/4的差别不是大小而是层次，1/4比1低两个层次”这句话让我形象的看到了某个发生在茹毛饮血时代的场景，原始人类还不能很好的抽象出数学概念，只能代之以“层次”之类的直观感觉。
1+1=2是对现实世界的物质属性和关联的抽象，代表了所有符合这个式子的现实世界。模拟了什么你就没事自己一一列举吧，别累着。
我说的数理逻辑是研究命题间推理的一种形式化的数学方法，不靠嘴头的说，靠的是笔头的算。是硬塞给逻辑的一种数学方法。诸如“包含在数学之中更内在的逻辑基础”与我说的数理逻辑无关。我再重复一遍“用不着弄个逻辑基础做茧自束”的话，从你的回复中我看不出那里有错。如果局限在所谓的靠单位比较的怪茧里，数学还不如叫记账学。
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1+1=2是对现实世界的物质属性和关联的抽象，代表了所有符合这个式子的现实世界。模拟了什么你就没事自己一一列举吧，别累着。
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我要求LoneTraveler 1+1=2 举出这个数学式子模式了现实世界中的什么，因为他说数学是对现实世界中事物之间的关系的模式。结果LoneTraveler不回答，要我自己列举，还劝我“别累着”？
LoneTraveler当然不敢举例，因为只要一举例，事物的“单位”就逃避不了，哈哈，然后感觉这个LoneTraveler行文就开始带情绪了？
不过，也许是我感觉有误。^-^
数学从根本上来讲仅是来源于对时空的抽象，两个1，之所以是两个，不在于它们是两个苹果还是两个香蕉，而在于它们空间上的分离。这一点是“数”这个东西唯一的客观基础。这意味着：数本身是一种抽象，但它不是语词概念那样的包含着具体客观内容的抽象，而仅是单纯的时空划分。一种单纯的时空的量的变化规律，无法模式任何客观事物，除非有单位参与。
而产生“数”这种观念的事物之间 “空间上的分离”，它原本是一种直观感觉，然而，“数”的概念以及数之间的逻辑运算规则创建后，往往就忘了它当初所依赖的前提，以为脱离了感觉依据的数学运算仍然是对时空的性质规律的把握，这就错了。这叫“忘本”。
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LoneTraveler似乎搞不清楚“数学”与“数学的运用”。
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LoneTraveler觉得“层次”这种逻辑概念早于“数字”和“四则运算”法则在人类中运用？我估计前者至少晚出现两千年。
----------GOOGLE <存在与虚无 飞矢不动>
关天某DN：虽然这个“操作”是“无限多”“步”的，但不意味着“结果”是“无穷大”的，“操作的无限次”和“结果的无限大”这是两个概念。芝诺马甲在上面的诡辩是以为，“操作的无限次”导致“结果的无限大”。
芝诺马甲：不见得吧
关天某DN：嗯，还有种情况。就是芝诺马甲觉得这种加法操作的每一步都得花差不多的时间（假设为常数t），因为要进行无数次这样的加法，所以要花无数长的时间。他不知道人类可以花几十年几百年来探讨这类操作的实质，而在最后按趋势得出它的结果是“1”而不是坐在那里真的加上无数次……
关天某DN：对于这样一个加法，尽管加了无数项，但：
1）结果不是无穷大（因为每次加的项的值都在减小，在这里是1）
2）不是说因为有无数项所以算这个东西要算无数长的时间
关天某DN：当你挥动垂着的手臂去赶额头的苍蝇时，比如这段距离是m（常数），你手要经过m/2,m/4,m/8,m/16……各点，尽管越来越短，但总得经过吧，所以你永远也经过不完，所以也就是永远也摸不到额头。
芝诺马甲：呵呵。其实我们不管谁手一挥就摸到额头了
关天某DN：是啊，距离越来越短，要花的时间不也越来越短啦:比如第一个m/2用了t/2（t为常数）长的时间，下一段m/4用了t/4长的时间……所以：
1）这样的一个个时间段加起来结果并不是无穷大，
2）这样的一个个时间段加起来的运算并不是真要你去进行一步一步的操作而造成花掉无数时间（假定加每项花的时间差不多长）
芝诺马甲：那……
关天某DN：就是你在叙述中恰好找到追赶花时间这么个将距离和时间缠在一起的话题，于是让 叙述 每个追赶所花的时间（相当于上面说的进行每一步加法耗的时间）跟每个追赶本身花的时间（相当于上面说的t/2、t/4、t/8……其实都看出来了，它是在减少中的）等同起来了。
芝诺马甲：霍霍，你真坏嘛——
关天某DN：还有啊，所谓“芝诺悖论”中的“悖论”二字的意思和阐述一个假定的前提导出了左右都矛盾的结果的“理发师悖论”中的悖论二字的意思不等同的
芝诺马甲：kao，我要谢谢你吗？
１、以事实来反驳芝诺悖论是没有任何意义的．
２、加起来等于１？正确的表述应该是以１为极限吧！
３、芝诺本来就是要说运动根本是不可能发生的！
从我回帖里你能看到哪儿就看到哪儿吧，呵呵。
用这句来说我不对的：）
2）如果当它是个关于“无限”的数学问题，请见随后的跟贴
3）如果你当是哲学问题，那你不用在这里再说了……（BTW，如果谈到这方面上，就觉得你象id欣夫或什么金昌的了）
伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，这次危机的发生带有必然性。
这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，埃利亚数学家芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的4个悖论。
芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却激起了一场轩然大波。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是：希腊证明几何中从此就排除了无穷小。
经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算──微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤。微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为解决问题的重要工具。同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。
求速度为例，瞬时速度是，当趋近于零时的值。是零，是很小的量，还是什么东西？无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成第二次动摇数学理论基础的危机。
无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年又说它是“两个正在消逝的量的最终比”。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量。但是，他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。
英国大主教贝克莱于1734年发表文章攻击说，流数（导数）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学，但却是正确的结果。”贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚、不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。
当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造的时代的初期，科学中，逻辑中存在这样那样的问题，并不是个别现象。莱布尼兹在研究级教时，也认为格拉弟的结论：
1 – 1 + 1 –1 …… = 1/2
是正确的，并解释说，这就象一件东西，今天放在这个人处，明天放在那个人处，于是相当一人一半。现在稍有些数学知识的人都知道，上述级数是不存在和值的。对于无穷级数来说，有些运算律并非都可以用，而要看条件。例如，对上面的级数，如果利用结合律，则有：
1 – 1 + 1 – 1 + …… =（1 – 1） + （1 – 1）+ ……
= 0 + 0 + 0 + …… = 0
利用交换律和结合律，就有：
1 – 1 + 1 – 1 + …… = 1 + 1 + 1 + （1 – 1） + （1 – 1）+ ……
= 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + …… = 3
利用结合律和分配律，就有：
1 – 1 + 1 – 1 + …… = 1 - （1 – 1） - （1 – 1）- ……
= 1 - 0 - 0 - …… = 1
由此可见，如果不顾条件的话，尽管是正确的定律也会导出荒谬的结果。18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的。它强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性，如上述级数可等于1/2、0、3、1，等等；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，一些数学家才开始关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到魏尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义。阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分。狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的ε-δ定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。
19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
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无理数的确认──第一次数学危机
现代文明的基础，很大程度上由2000多年前生活在小小希腊城邦的科学家们建立。公元前500年左右，古希腊的毕达哥拉斯创建了毕达哥拉斯学派。这个学派认为：“万物皆数”（指整数），数是现实的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里控制着的永恒的关系。数学的知识是可靠的、准确的；数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。毕达哥拉斯学派和更早的以泰勒斯为代表的米利都学派一起开创了应用演绎推理解决数学问题的先河。从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源于古希腊。
整数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种很难分离为单独个体的量，例如长度、重量、体积和时间等等。为了满足这些简单的度量需要，人们提出了分数。在分数和整数的基础上，人们进一步提出了有理数的概念。所谓有理数即为两个整数p、q 的商p/q，q≠0,那么由于有理数系统包括了所有的整数和分数，所以仅使用有理数对于进行实际量度已经足够了。
对有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的左端点和右端点分别表示0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。古代数学家们认为，不言而喻，这样能把直线上所有的点用完。从这个角度来看，“整数是完美的”。毕达哥拉斯学派甚至将自己的全套哲学思想建立在了“整数”的基础上。但是，恰恰是毕达哥拉斯学派在大约公元前400年发现：直线上存在不对应于任何有理数的点。特别是，他们证明了：在这条直线上的点p不对应于任何一个有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线，如图1所示。
图1 无理数的发现
因此，必须发明新的数对应这样的点；由于这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕达哥拉斯学派最伟大的成就之一，也是数学史上一个重要的里程碑。
为了证明以单位长为边的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，根据勾股定理，只要证明是无理数就够了。据亚里士多德说，历史上最早证明√2是无理数的数学家正是毕达哥拉斯本人。他找到了一个方法来证明不能表示成p/q。这里，p,q是没有公约数的正整数。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。首先，对于全部依靠整数的毕达哥拉斯哲学，这仿佛一次致命的打击。其次，无理数看来与常识相矛盾，因为直觉地感到：任何量都可以被表示为某个有理数。在几何上的对应情况，同时也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。由于毕达哥拉斯学派关于比例的定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕达哥拉斯学派比例理论中的所有命题都局限在了可通约的量上，这样他们的比例理论及其推论将不得不被全部抛弃。“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，毕达哥拉斯和他的门徒费了很大的精力，将此事保密，不准外传。据说，毕达哥拉斯的一个学生希帕苏斯，由于泄露了这个秘密而被扔进了大海。
中国有一句古话“纸里包不住火”。人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。后来，据柏拉图说，昔拉图的狄奥多鲁斯在大约公元前425年，指出面积等于3、5、6……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以证明。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。诱发这次危机的另一个间接因素是“芝诺悖论”的出现。它更增加了数学家们的担忧：数学是否还有可能维持作为一门精确的科学？宇宙的和谐性是否还存在？
动摇数学基础的第一次危机并没有很轻易地被解决。最后的成功在大约公元前370年，那是卓越的欧多克斯（Eudoxus）的功绩。欧多克斯是柏拉图的同辈，是毕达哥拉斯学派阿契塔的学生。欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了这个棘手的“矛盾”。欧多克斯处关于处理不可通约量的杰出论述，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年给出的无理数的现代解释基本一致。
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到了挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。从此，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。第一次数学危机同时反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，也是第一次数学危机的自然产物。
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罗素悖论的责难──第三次数学危机
数学基础的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的；到现在虽然已经超过了一个世纪，但从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论而造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且集合论在实际上已经成为了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年意大利数学家布拉里.福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。福尔蒂和康托的悖论只涉及到集合论中的结果，没有引起当时数学家们的足够重视。但罗素于1901年5月发现了一个悖论。它除了涉及集合概念本身外不需要别的概念。
在描述罗素悖论之前，请首先注意：集合，或者是它们本身的成员，或者不是它们本身的成员。例如，抽象概念的集合本身是抽象的概念，但是所有人的集合不是一个人。再则，所有集合的集合本身是一个集合，但是所有鸟儿的集合不是一只鸟。假设M表示是它们本身的成员的所有集合的集合。而N表示不是它们本身的成员的所有集合的集合。然后问：集合N是否是它本身的成员。显然，如果N是它本身的成员，则N是M的成员而不是N的成员，于是N不是它本身的成员。另一方面，如果N不是它本身的成员，则N是N的成员，而不是M的成员，于是N是它本身的成员。悖论在于：无论哪种情况，我们都将导致矛盾。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中，最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村子里这样的人刮脸。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的变化性质：“理发师是否自己给自己刮脸？”如果他给自己刮脸。那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当弗雷格已经完成他的关于算术基础的两册巨著《算术的基本法则》的最后一册时，罗素通信告诉了他这个悖论。弗雷格在其论著的末尾以悲哀的话语写道：“一位科学家不会碰到比这更痛苦的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待复印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。于是，他终结了这不止12年的辛勤劳动。狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版复印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳威也认为自己过去作的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。
罗素悖论的“破坏力”还不仅局限在数学领域，只要把罗素悖论的陈述略加修改，即用逻辑的术语来代替集合论中的术语，罗素悖论就可以推广到逻辑领域。这样，罗素悖论就不仅触及到数学的基础理论本身，它涉及到了一向被认为极为严谨的两门科学 — 数学和逻辑学。
实际上，早在两千多年前，逻辑学上就已经有人提出了类似的悖论。例如，据说公元前4世纪的欧伯利得曾提出悖论：“我现在正在做的这一陈述是假的。”如果这个陈述是真的， 则它是假的；然而，如果这个陈述是假的，则它必定是真的。于是，这个陈述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的还有公元前六世纪，克里特人埃皮门尼德提出的悖论：“克利特人总是说谎的人”。只要简单分析一下，就能揭示出这句话也是自相矛盾的。
集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从悖论被发现之后，关于这一课题发表了大量的文章，为解决它们作过了大量的尝试。
就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的。以后还有多人进行加工。但是，此种方式曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论；此外，它不能保证将来不出现别种悖论。
另一种方式既能理解又能排除已知的悖论。如果仔细地检查，就会看到：上面的每一个悖论，都涉及一个集合S和S的一个成员m（而m是靠S定义的）。这样的一个定义被称作是“非断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，考虑罗素的理发师悖论，用m标志理发师，用S标志理发师那个村的所有成员的集合，则m被非断言地定义为“S的给并且只给不给自己刮脸的人刮脸的那个成员”。此定义的循环的性质是显然的―理发师的定义涉及村子的成员，并且，理发师本身就是村子的成员。庞加莱认为出现矛盾的原因在于非断言的定义。并且，罗素在其恶性循环原则中表示过同样的观点：没有一个集合S被允许包括只能用S定义的成员m，或者涉及或先假定S的成员m。
因此，不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的已知悖论的办法。然而，对这种解决办法，有一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的。例如定理“每一个具有上界的实数非空集合有最小上界（上确界）。”数学中有许多类似的非断言定义的例子，虽然它们有一些可以设法避开。但数学家们却不愿回避问题的存在。
解决集合论的悖论的其它尝试，是从逻辑上去找问题的症结。这带来了对逻辑基础的全面研究。设想：可能通过三值逻辑的使用摆脱悖论的困难是一种很引人入胜的想法。例如，在上面给出的罗素悖论中，可以看到：“N是它自己的成员”这句话既不是真的，也不是假的。在这里，第三种可能性会产生帮助。用T来表示一个命题为“真”，用F来表示一个命题为“假”，而第三种既非T又非F的性质用问号“？”来表示。如果我们能将这类陈述简单的分类为“？”，这个问题也就解决了。
从1900年到1930年左右，数学的第三次危机使许多数学家卷入一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及到数学的根本，因此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。它们都是唯心主义学派。它们都提出了各自的处理一般集合论中的悖论的办法。他们在争论中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实各自的观点都吸收了对方的看法而有很多变化。1931年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷谈了下来。此后，各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不大关心哲学问题。直到近年，数学哲学问题才又激起人们的兴趣。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好象一切灾难都出来了。这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。经过“悖论”大辩论的洗礼，现代公理集合论的一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
> G3兄：而且你的表述不够严格，如果要讲极限概念，应用数学语言，方为严密！
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是的，你这次说的很对，我的表述是不严密的。
因为这个问题可以说被严密的数学语言解决了。我上面的类比只是希望比较直观些地说出“芝诺悖论“中的芝诺是用什么进行“诡辩”的？或者说，诡辩用的手段、基础是什么？
2）不用在讨论了
为什么我要害怕给你举例子呢？我只是感到这么举例子很无聊。单位怎么了？你高兴的有点让人莫名其妙。
1；1/2；1/4没有单位就不能比大小吗？！1米与1/2米的大小是怎么比出来的？！1吨和1/2吨的大小呢？别告诉我你是用尺子和称量出，用眼睛看出来的。
“层次”这个东西和原始人脑子里的满足感有区别吗？他觉得自己的食物比隔洞的要大，要沉，隔洞的和他的根本不在一个层次上。囫囵吞枣，信口开河的就有层次高的满足感了，但没有量化就是胡扯，尽管看起来就是这样的。
“数学从根本上来讲仅是来源于对时空的抽象，两个1，之所以是两个，不在于它们是两个苹果还是两个香蕉，而在于它们空间上的分离。”这就是你对自然数的定义？为什么数学就是来源于对时空的抽象？什么叫空间上的分离？
我真就去搜到那个帖子了，花了不少时间看，后半部有一些没细看。
我觉得你挺糊涂的，但不是大智若愚。
那么多人为你解释你还是不能明白。感觉你总是无法想得出，或者直觉地想出 1/2+1/4+1/8……1/(2^n)＝1(n：无穷) 是怎么回事，所以怎么都想不明白这个“悖论”的错出在哪里。
因此说实话，我浪费了不少时间在这两个帖子上。
你不是学理工科的吧？高中、学士或硕士阶段
请研究一下数学，研究一下这个等式是怎么来的！
因果倒置，是很普遍的思维盲点！
无穷大>正有理数>无穷小>零>负无穷小>负有理数>负无穷大
不是很清楚的么？为什么还会出现数学危机？？？
1/0 的危机是不是更大些，还有 0/0 为什么<>1？……
不可不提!
===
别只光提呀，给点玉言啊，我可是仔细看了帖的人哦！
无穷大>正数>无穷小>零>负无穷小>负数>负无穷大
再次看了大家的发言，真涨见识！
数学原来就是一门死钻牛角尖的学问啊！
自己永远不可以给自己下定义！呵呵，记住了。
在0和1之间的有理数多还是无理数多？
能回答这个问题的就算具有数学常识，芝诺悖论只是小菜一碟。
这个悖论里阿基里斯和乌龟之间的距离是个定量，而阿基里斯追上乌龟的时间是个不定量（现实是可以追上的，所以这个时间定量是存在的），这对听众来说，本来就是不公平的！悖论的无限小理论是基于实事不成立的前提，也就是说阿基里斯在乌龟后面，这样的化，阿基里斯追上乌龟的时间就不存在了，如果我们在读这个悖论的时候默认了阿基里斯从出发点到追上乌龟那个点之接的时间不存在，即那个时间不是个定量，那么这个悖论是无懈可击的！
你可以说这个悖论就是为了驳倒实事，拿实事说话是荒谬的。
那么，你在纸上画一个点，用1秒时间，这个点可以分为无限个点，如何在1秒的时间内画无限个点那？这个问题我想读过书的人都可以回答吧，1秒种内画了无限个点，那么我用1/无限秒时间画了那个点的1/无限。这就是悖论存在的原因，也就是说悖论是逻辑错误！如果问如何在有限的时间内画无限的点？这就成了悖论。这个悖论在逻辑上否认了有限时间的量，而肯定了点的量，在确定了一点后，把这一点无限的分成无限的点。我们只可能吧定量无限的分下去。把有限的时间即定量1认为不存在（实事没有发生），却将实事发生后的一点无限划分，即这个悖论的逻辑错误，也是它的高明之处。那么有限的时间和无限的点就成了（1/n）点/（m/n）时间，实际上当我们把点无限划分的时候，两个n应该是等值的，而m即悖论认为不存在的1，（1/n）点/（m/n）时间仍然等于一！然而悖论的逻辑上点的前提是一个点，而时间的时间没有概念，这样就给人错误的逻辑m/n时间>1/n点，即（1/n）点/（m/n）时间<1，则实事无法完成，而实事无法完成的时候点也不是个定量，根据反推逻辑，悖论错误！
同样，阿基里斯悖论先否认了实事，在实事不成立的条件先阿追上乌龟的时间，即时间不是一个定量，阿和乌龟之间的距离是个定量，其实当追赶过程开始的时候，阿与乌龟之间的距离也成为一个不定量，悖论认为阿和乌龟之间的距离越来越短，打个比方，短到一厘米，或者一个点的时候，悖论又量化了距离而没有量化时间，这就跟上面是一样的逻辑关系！
各位！请回答一个问题：
在0和1之间的有理数多还是无理数多？
能回答这个问题的就算具有数学常识，芝诺悖论只是小菜一碟。
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应该都是无穷多！
1、“两分法”
所谓的1/2点、1/4点、1/8点，代表的是1/2的距离、1/4的距离、1/8的距离，因此所谓的无穷，不过是指无穷小的距离！论证只是说明从A点到达B点必须先经过无穷小的距离，所谓的运动不可能发生，根本未得到论证！
2、“阿基里斯追不上乌龟”
所谓乌龟的原出发点，本身就是阿基里斯在乌龟后面的点，因此论证中只是说明了存在着无限个阿基里斯在乌龟后面的点，并未说明阿基里斯在追乌龟的过程中只存在阿基里斯在乌龟后面的点，（那运动可否跨越无限个点呢，可以，因为所谓的点都代表一定的距离，无限的点代表的可能是有限的距离），因此所谓阿基里斯追不上乌龟并未得到论证。
3、“飞矢不动”
“时间是由瞬间组成”这个论点是错误的，时间有量的概念，而瞬间没有量的概念，正如1并不是由0组成的。
4、“操场或游行队伍”
选择的参照物不同，所谓的等速运动不存在！
各位！请回答一个问题：
在0和1之间的有理数多还是无理数多？
能回答这个问题的就算具有数学常识，芝诺悖论只是小菜一碟。
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無限可數和無限不可數,恐怕不只是數學常識吧
想必更知道，无穷级数之和可能是有限的，所谓芝诺悖论，只是说在某个有限的时间内追不上而已，不是“永远”追不上。
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这个芝诺悖论的诡辩在于：先定义了阿基里斯和乌龟的速度不同，并隐藏着指他们的速度一直不变，而后来却置这一前提于不顾，只盯着他们所经过的点大做文章，最后才能得出荒谬的结论！
芝诺也可以不成为“悖论”！那就是不要提速度！看下面：
先定义两个棋子A和B,它们位置一先一后朝同一方向移动,规矩是轮流着走,一个棋子一次只走一步, 前面的先走,而后面的棋子一步只能走到前面的棋子原来停留的地方!
这样一来我们就可以高呼我们的结论:后面的棋子永远追不上前面的棋子!!!而且绝对不是"悖论"!哈哈!这天底下到底谁傻?!
“阿基里斯追不上乌龟”： 阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
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这个芝诺悖论的诡辩在于：先定义了阿基里斯和乌龟的速度不同，并隐藏着指他们的速度一直不变，而后来却置这一前提于不顾，只盯着他们所经过的点大做文章，最后才能得出荒谬的结论！
芝诺也可以不成为“悖论”！那就是不要提速度！看下面：
先定义两个棋子A和B,它们位置一先一后朝同一方向移动,规矩是轮流着走,一个棋子一次只走一步, 前面的先走,而后面的棋子一步只能走到前面的棋子原来停留的地方!
这样一来我们就可以高呼我们的结论:后面的棋子永远追不上前面的棋子!!!而且绝对不是"悖论"!哈哈!这天底下到底谁傻?!
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haha,真相大白，高！
芝诺悖论迷whoybwhoyb可以休哎。：）
这里，由于e是“任意小”的正数，因此，“f(x)-N的绝对值小于e”的含义就是指f(x)的值可以无限逼近N；又由于e无论多么小，却永远不可能为0，因此f(x)的值又永远不可能等于N.所以limf(x)=N的含义就是f(x)可以"无限逼近却永远不可能达到"N.无论这种“逼进”是从左边逼近，右边逼近，还是左右“跳跃”式的逼近。
所以，数学里的“极限“概念描写的是一个动态的过程，一个无限逼近却永远不可能达到的目标。
当然，你可以说常数的极限仍然是它自己；但这只是求极限的极端情况或者特例，不能作为一般情况考虑，就像当复数的虚部为0时该复数变为实数。如果我们据此说复数的性质就是实数的性质，岂不是要闹笑话？
因此，极限的概念就是"无限逼近却永远不可能达到"，这个理解究竟犯了哪条“天规”，竟惹得关天的诸理科生们纷纷披挂上阵，横加指责呢？！
然而，宇宙的现实却是——“两岸芝诺啼不住，轻舟已过万重山”！哈哈……！！！
时间的瞬间是无穷小！
光子的质量是无穷小！
单相思的爱情的成功率是无穷小！
……
怎么样，无穷小不神秘吧！
“极限”悖论与引发第二次数学危机的“无穷”悖论密切相关。所谓f(x)“无限”逼近N,其实就是f(x)与N的距离可以“无穷小”。
但“无穷”这个概念一出现就给数学家们带来了“无穷”的麻烦。
伽利略最先发现：由全体正整数构成的集合的元素数目是无穷，由全体偶数构成的集合的元素数目也是无穷；而直觉却告诉我们后者只是前者的一部分。而更怪异的是两个集合的元素还可以构成一一对应的关系！这又明白告诉我们两个集合的元素数目必定相等。伽利略被这个矛盾困惑了。他承认目前的数学无法处理无穷概念。而有“数学王子”之称的高斯更是惊呼：“我认为数学应该禁止使用无穷概念……，这在数学中是根本不能允许的！”
……
但“无穷”这个概念一出现就给数学家们带来了“无穷”的麻烦。
伽利略最先发现：由全体正整数构成的集合的元素数目是无穷，由全体偶数构成的集合的元素数目也是无穷；而直觉却告诉我们后者只是前者的一部分。而更怪异的是两个集合的元素还可以构成一一对应的关系！……
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不知“2，4，6，8……”与谁一一对应？你能说明白些吗？
与1，2，3，4……一一对应，是两倍关系。
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谢！看来对“无穷”概念不可与一般数字概念同等看待，就如海水不可斗量，是吧？
“无穷”的无穷次方的无穷次方的无穷次方……等于无穷！
很可怕哦！
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“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。
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运动的特性是既在又不在，否则就不叫运动了。换言之，运动就是在第无穷次分割路程的时候，物体能既出现在这一截，也出现在这一截的旁边一截。
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“阿基里斯追不上乌龟”： 阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
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若以乌龟为参照点，则该题与上一题一样。若不以乌龟为参照点，按芝诺叙述，则存在一个对超过这个现象的解释问题。和刚才对运动的解释一样，超过是指阿基里斯能在某一次划分时出现在乌龟的后面，同时又出现在乌龟前面。
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“飞矢不动”：飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能处于运动状态。
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箭在某一瞬间出现在这一点又出现在前面一点。这个是根本了。
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下面一题几乎仿佛，我觉得这里主要有一个矛盾律问题，很难理解为什么一个物体的运动是既在又不在，这似乎违反了矛盾律，但逻辑是归纳出来的，物体的运动天然就违反矛盾律，人类应该做的就是承认矛盾律又欠缺了。
发现这里有人对无穷集合的一些基本常识都不清楚，这里就简单介绍一下了。
1. 什么是无穷集合
如果一个集合和它的一个真子集可以构成一一映射的话，我们就说这个集合是无穷集合（比如自然数集和它的真子集偶数集就可以构成一一映射：1->2 , 2->4, 3->6,...,n->2n，所以自然数集是无穷集合）
2. 什么是无穷集合的基数
直观的讲，无穷集合的基数就是无穷集合中元素的多少。如果两个无穷集合可以构成一一映射，则我们说它们的基数相同，比如前面提到的自然数集和偶数集的基数就相同，有理数集也和自然数集的基数相同，无理数集的基数和实数集的基数相同，也等于超越数的基数
如果一个集合只能和另一个集合的某个真子集构成一一映射而不能和这个集合构成一一映射，则我们说这个集合的基数小于后者，比如无理数集的基数就大于有理数集，而所有实函数组成的集合的基数就大于实数的基数
3. 是否存在一个集合，它的基数大于自然数但小于实数？
这是一个曾经困扰数学界几百年的问题，事实上它比歌德巴赫猜想著名。目前我们的给出的正确答案是不知道，因为证明的结论是这个问题即无法被证明，也无法被证伪，也就是说无论认为存在与否，都是可以的，但它们代表不同的数学分支。
極限的定義抄錯了吧.
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对于任意小的正数e,如果总存在一个数Ｎ，使得“f(x)-N”的绝对值小于e，则称函数或数列f(x)的极限为N，记为limf(x)=N.
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極限的定義是:
A function f(z) is said to have a limit lim(x->a)f(x) = C if, for all e>0, there exists d such that |f(x) - c| < e whenever 0 < |x - a| < d
引至 http://mathworld.wolfram.com/Limit.html
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和春風楊柳腰定義的區別有
1. 我們不會定義一個函數的極限, 只會定義定義函數在某點的極限
所以極限的寫法是 lim(x->a)f(x) 而沒有 lim f(x)
2.沒有任意小的正數e, 只有任意正數e
等會指出春風楊柳腰在錯誤的基礎上得出的錯誤結論
这里，由于e是“任意小”的正数，因此，“f(x)-N的绝对值小于e”的含义就是指f(x)的值可以无限逼近N；又由于e无论多么小，却永远不可能为0，因此f(x)的值又永远不可能等于N.所以limf(x)=N的含义就是f(x)可以"无限逼近却永远不可能达到"N.无论这种“逼进”是从左边逼近，右边逼近，还是左右“跳跃”式的逼近
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如果說上一段只是一個不熟悉數學的人超了一段不嚴謹的定義, 那麼這一段就是做了更不嚴謹的推論.
1.定義說 exist d , s.t. 0 < |x- a| < d, |f(x) - c| < e, for any e > 0; 但沒有說|f(x) - c| > 0. 實際上 f(x)-c 是可以等於零的.
2. 因為弄錯了很關鍵的一點, f(x) - c可以等於零, 所以得出了奇怪的結論:
limf(x)=N的含义就是f(x)可以"无限逼近却永远不可能达到"N
然後就是更多的錯誤結論
我爱哲学，因为它的问题永远没有答案。
你在网上抄极限的英文定义，可是你并没有懂得它的真正意思。f(x)=c的情况只有两种：（1）f(x)是常量，我前面已经说了，这是求极限的特例而已；（2）f(x)的函数曲线碰到或穿过f(x)=c这条水平横线（如果你有数学常识，应该知道f(x)=c是平行于x轴的水平线），在这种情况下，无论如何都不能说f(x)的极限是c！这是任何一个学过高等数学的人都懂得的常识。
吃饭去了。
种文章不要放在关天里，扔别院就行了
一些數學不好的人說到極限,會把極限等同於 lim(x->inf)f(x),而實際上, 正式的極限是lim(x->a)f(x).而對於通常的函數, lim(x->a)f(x)都是可以達到的.
當然春风杨柳腰的回貼再次顯示了他對極限的概念是似懂非懂的.
"因此，极限的概念就是"无限逼近却永远不可能达到"，这个理解究竟犯了哪条“天规”，竟惹得关天的诸理科生们纷纷披挂上阵，横加指责呢？！"
^_^，好像我这么干过。说点题外的，春风杨柳腰大概是大学里教哲学的。
TakeIt、我还有其它一些人说问题喜欢应用“－>”（推导）的模式，而春风杨柳腰比较喜欢“xx说过……”。这就是文科与理科的区别。
看了楼主的“完全破解”的“完美诞生”，基本上没看懂，更要命的是我现在连啥叫“破解”也开始搞不懂了。我受正统教育多年，所以自然认为对芝诺这样的代表奴隶主阶层利益的“反革命分子”言论的破解，那一定是指出其谬误之处，但好象楼主不完全是这么想的，至少在第二个悖论的“破解”上不是如此，它好象就是把芝诺难为我们之处用更通俗的语言又复述了一遍。
蒙以前大虾们的推荐，现在学习ing《数学：确定性的丧失》，我的感觉用最近比较火的说法就是“麻烦”。但对于我们这样的数学门外汉来说适当看些科普是完全必要的。
看網上鑽哲學牛角尖的朋友, 還真有一副哲學指導一切的氣魄.
笑
速度为a、b 及L/b的式子已经告诉我们阿基里斯已经完全可以追上乌龟了，这个式子保证了阿基里斯可以遍历所有乌龟经过的点。如果阿基里斯可以到达乌龟的出发点，他就一定能追上乌龟。L/b的成立保证了阿基里斯拥有了跨越无限的能力，阿基里斯到达乌龟出发点本身就是一个无限的过程，就是一个芝诺悖论中的悖论。换句话说，形如L/b的式子的出现就已经是默认了阿基里斯可追上乌龟，是在追上的前提下回答了何时追上的问题，根本不具备解决是否可以追上问题的能力。
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Why？
小时候喜欢大学里的辩论赛，可越来越看不起它，尤其是真理越辨越明那次，有人居然说歌德巴赫猜想是论证1＋1＝2。
"因此，极限的概念就是"无限逼近却永远不可能达到"，这个理解究竟犯了哪条“天规”，竟惹得关天的诸理科生们纷纷披挂上阵，横加指责呢？！"
^_^，好像我这么干过。说点题外的，春风杨柳腰大概是大学里教哲学的。
TakeIt、我还有其它一些人说问题喜欢应用“－>”（推导）的模式，而春风杨柳腰比较喜欢“xx说过……”。这就是文科与理科的区别。
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太空不锈，我的贴子中就用了“－>”这样的符号，如“也即：龟兔─〉物理点─〉数学坐标点这些不同的东西不能串连着处在同一逻辑结构之中。”
其实我用的这个“－>”，我也不知道它究竟表达了一种什么关系，至少它决不代表什么理性“推导”，因为，“龟兔”变成“感知的点”再变成“抽象的数学点”，这种变化似乎不属于任何学科的逻辑，大概属于“神话”的逻辑吧。
^_^
我这个表述是不专业的：
“假使兔子跑了（相隔距离）“L”的一半时，还有1/2“L”，然后还有1/4“L”，还有1/8“L”．．．，如此类推。”
应该改成以下模样正规一些：
“假使兔子跑了（相隔距离）‘L’的一半时，还有L/2，然后还有L/4，还有L/8．．．，如此类推。”
如果给予“L”现实的度量单位，那么“就有‘L’的一半L/2，然后还有L/4，还有L/8．．．，如此类推”，但这不是无限的，它有现实的极限，这个极限就是当前最小的科学测量单位。
“L”如果没有现实的度量单位而又要在空间的意义上而不是纯数理逻辑上去理解的话，它就代表“任意空间”，而在我看来，所谓“任意空间”只能是一种想象的东西，比喻“天堂”。
思维的运动与外部客观事物的运动不能混为一谈。“芝诺悖论”之成为“悖论”正是由于这种混乱造成的。
并不是因哲学高明，所以才能解决“芝诺悖论”，而是因为“芝诺悖论”的问题理应属哲学问题。
在哲学问题之外，哲学也是“笨蛋”。
请哪位大虾给回答一下？
这话有些不妥。
1、结构的意思是不是在“思维的运动”中快的就是追不上慢的？
2、“芝诺悖论”的意义真是在思维的运动中体现的，我们不是也一直思维的层面上讨论吗？
所以即使在“思维的运动”上，芝诺也是有问题的。
其实“芝诺悖论”是个医学问题，之诺脑袋不好使，一天没事乱想，要是把他的脑袋治治，说不定“芝诺悖论”就搞定了。
对“芝诺悖论”，有人说是纯逻辑问题，有人说是纯哲学问题，有人说是纯数学问题……那么，什么叫纯逻辑问题？什么叫纯哲学问题？什么又叫纯数学问题？
请哪位大虾给回答一下？
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非大虾也能回答吧？：）
回答“什么是艺术”的问题不是作为艺术家的画家、歌手、舞蹈者等等的事，回答“什么是科学”也不是物理学或数学、化学的事，这其中一个基本原理就是：“一种活动A本身（比如“跳舞”）”与“把A作为对象来认识（如“什么是跳舞”）”有质的区别。
什么是“纯逻辑问题”、“纯哲学问题”、“纯数学问题”这些问题都是哲学问题。为什么？因为它们都是把那些“思维（逻辑、数学、哲学）”作为对象来认识而不是进入那种思维（什么是“哲学问题”不是一个哲学问题而是一个元哲学问题）。
事物的特徵只能通过事物之间的比较才能确定这是显然的。那么要判断“逻辑”、“哲学”、“数学”等等的性质特徵就必须超学科地站在更高一层次拿它们作比较，而这种思维地位正是“哲学”。传统哲学甚至还追究“世界是什么”的问题，我认为由於缺乏参照，说世界是什么都无所谓。
关天这次“芝诺悖论”讨论中我说过好几次了：“‘芝诺悖论’只能是超所有科学学科的哲学问题，因为该悖论的描绘内容本身就是超越任何具体科学学科的领域对象的”，从“龟兔─〉物理点─〉数学坐标点这些不同的东西串连著处在同一逻辑结构之中”来看，它遍及“日常直观”、“物理测量”和“数学计算”这些完全不同的精神意识领域。而能够在这些完全不同的精神意识领域中都有效的思维方式只有一种，那就是“纯逻辑”。在这里，数学的计算特色和日常的直观性都已经无立足之地，运动永远是建立在直观基础之上的，我们只能说“芝诺悖论”与运动无关，而不能说“芝诺悖论”证明了运动的不可能，这就是这次“芝诺悖论”讨论中的发起人whoybwhoyb一直没明白的关键问题。
它们理解为是人的大脑本身运动规律的体现而并不是对这个客观世界的某种模式。
比如：一米的一半的一半是多少这与客观世界有关，而抽象的一半的一半仅是一个
逻辑结构，把空洞的逻辑结构强加于客观世界是荒唐的。当“芝诺悖论”已经走到
纯数学极限的地步又回到现实说“兔永远追不上龟”显然也是荒唐的。
作者：太空不锈 回复日期：2004-8-1 22:44:31
“思维的运动与外部客观事物的运动不能混为一谈。“芝诺悖论”之成为“悖论”正是由于这种混乱造成的。”
这话有些不妥。
1、结构的意思是不是在“思维的运动”中快的就是追不上慢的？
2、“芝诺悖论”的意义真是在思维的运动中体现的，我们不是也一直思维的层面上讨论吗？
所以即使在“思维的运动”上，芝诺也是有问题的。
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太空不锈，我说的“思维的运动”是特指“纯逻辑”和“纯数学”，这两者我一直把它们理解为是人的大脑本身运动规律的体现而并不是对这个客观世界的某种模式。
比如：一米的一半的一半是多少这与客观世界有关，而抽象的一半的一半仅是一个逻辑结构，把空洞的逻辑结构强加于客观世界是荒唐的。当“芝诺悖论”已经走到纯数学极限的地步又回到现实说“兔永远追不上龟”显然也是荒唐的。
任何“追”这种事都得以“速度”概念为前提，而“速度”是空间和时间两方面的规定。“芝诺悖论”从头到尾没有具体的时空的量，所以在“芝诺悖论”中，没有“追”这回事，也即：没有真实的运动在其中而只有逻辑的“无穷递归”。
作者：太空不锈 回复日期：2004-8-1 22:44:31
“思维的运动与外部客观事物的运动不能混为一谈。“芝诺悖论”之成为“悖论”正是由于这种混乱造成的。”
这话有些不妥。
1、结构的意思是不是在“思维的运动”中快的就是追不上慢的？
2、“芝诺悖论”的意义真是在思维的运动中体现的，我们不是也一直思维的层面上讨论吗？
所以即使在“思维的运动”上，芝诺也是有问题的。
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太空不锈，我说的“思维的运动”是特指“纯逻辑”和“纯数学”，这两者我一直把它们理解为是人的大脑本身运动规律的体现而并不是对这个客观世界的某种模式。
比如：一米的一半的一半是多少这与客观世界有关，而抽象的一半的一半仅是一个逻辑结构，把空洞的逻辑结构强加于客观世界是荒唐的。当“芝诺悖论”已经走到纯数学极限的地步又回到现实说“兔永远追不上龟”显然也是荒唐的。
任何“追”这种事都得以“速度”概念为前提，而“速度”是空间和时间两方面的规定。“芝诺悖论”从头到尾没有具体的时空的量，所以在“芝诺悖论”中，没有“追”这回事，也即：没有真实的运动在其中而只有逻辑的“无穷递归”。
“兔子追上了乌龟这儿个事儿让大家知道以后，是不我这兔子就活不了了? 就已经是身败名裂了，有这么狠嘛? ...”
“本来兔子追上了乌龟这个事儿是个很美好的事儿，你现在非要把他弄成个‘悖论’，还满世界嚷嚷，一嚷就是两千年，非要把我弄的身败名裂... ”
“我现在敢随便追上乌龟吗? 你讲话，不是我前面都有无数个‘点’了吗? 再继续追那不是找死吗? 你说对不对? 我能做那种事儿吗? ”
“另外，你说我周围有无数个点限制着我，我根本就无法运动，在哪儿呢? 我要有无数个点，我当时还能追你吗？ 我忙得过来么? 我就是一次追完无数个点，也得无数天转一圈儿才! ”
“所以你啊，胡说八道的时候，自己就不考虑...”
“然后你就骂起来了，就发贴子了，上网了，找传媒了，大家都来参观呀，这是谁谁啊，他就在这里追的我呀! 你不是作不出来也...”
“我就跟你讲到这儿，你愿意听听，不愿意听拉到。我是说实话哦，你说一个有限的距离，说老实话，乌龟，你说阿，无穷分割有那么难么……”
1、“两分法”
所谓的1/2点、1/4点、1/8点，代表的是1/2的距离、1/4的距离、1/8的距离，因此所谓的无穷，不过是指无穷小的距离！论证只是说明从A点到达B点必须先经过无穷小的距离，所谓的运动不可能发生，根本未得到论证！
2、“阿基里斯追不上乌龟”
所谓乌龟的原出发点，本身就是阿基里斯在乌龟后面的点，因此论证中只是说明了存在着无限个阿基里斯在乌龟后面的点，并未说明阿基里斯在追乌龟的过程中只存在阿基里斯在乌龟后面的点，（那运动可否跨越无限个点呢，可以，因为所谓的点都代表一定的距离，无限的点代表的可能是有限的距离），因此所谓阿基里斯追不上乌龟并未得到论证。
3、“飞矢不动”
“时间是由瞬间组成”这个论点是错误的，时间有量的概念，而瞬间没有量的概念，正如1并不是由0组成的。
4、“操场或游行队伍”
选择的参照物不同，所谓的等速运动不存在！
另：
从前面的讨论中，我发现很多老大对＂无限个点＂有很深的迷思．事实上悖论中的点是指距离上的点，是用距离介定的点，也就是以距离为属性的点，如果抽掉距离的属性，这些点是不存在的！
换句话说，如果单纯讲所谓的点，那么这种点是没有任何量上的概念的，就象＂０＂这个表述一样，无限个＂０＂是没有任何意义的！
如果一定要说跨越无限的点，那就如同说＂１＂里面包含无限个＂０＂一样，是有量概念与无量概念的混淆！是不同概念的混用！是不正确的表述！
换句话说，如果单纯讲所谓的点，那么这种点是没有任何量上的概念的，就象＂０＂这个表述一样，无限个＂０＂是没有任何意义的！
如果一定要说跨越无限的点，那就如同说＂１＂里面包含无限个＂０＂一样，是有量概念与无量概念的混淆！是不同概念的混用！是不正确的表述！
A.阿基里斯追不上乌龟的數學表達
1.設阿基里斯速度為a,乌龟為b. a > b > 0.距離為D0
2.Dn 為阿基里斯到達乌龟第n個出發點所前進的總距離
3.dn 為Dn - D(n-1)
4.阿基里斯完成dn 時, 烏龜向前爬了 dn/a*b, 故d(n+1) = dn/a*b
5 由於不存在dn <= 0, 所以不存在阿基里斯追上了烏龜
B証偽
顯然當 t > D0 /(a-b),阿基里斯追上了烏龜
對於這一點有懷疑的話, 我建議你去特殊學校補習數學.
C找出推論的漏洞
1.補充定義
追不上:當時間趨向無窮,阿基里斯在烏龜後面
2.補充A5
當n趨向無窮,t趨向無窮, 由於不存在dn <= 0,
所以當t趨向無窮,不存在阿基里斯追上了烏龜.
3.錯誤在於:
當n趨向無窮,t並不趨向無窮,而是趨向D0/(a-b).
好了, 現在請各位哲學系的同學不要害羞,積極發問.
TakeIt你太复杂了
阿基里斯的速度为A
烏龜的速度为B
起跑时阿基里斯与烏龜的距离为C
假设在X时间追上了烏龜
列方程
AX=BX+C
解得
X=C/（A-B）
所以阿基里斯在C/（A-B）后追上烏龜
小芝错误在将时间限制在C/（A-B）以内
这样是不是更简单些？
可是这是在说废话！
以事实反驳小芝，是没有意义的！
这样是不是更简单些？
可是这是在说废话！
以事实反驳小芝，是没有意义的！
其实我们一直在强调：无数次到达中点之类的动作是可以在有限的时间内完成，这个观点不是我们事先可以肯定的（虽然很简单），我们是通过计算得出的结论。
我们把第1次，第2次……第n次……第无数次的时间距离相加后发现，它们发生在有限的时空之内。
要證明這是謬誤很簡單,實際上,我也只用了一句.但要指出在邏輯過程的那個環節出錯,還是需要一個步驟一個步驟的檢查的.
只要學過級數,更可以輕鬆的找出破綻的所在.
當然,前提是你要信論數學.
而另一方面, 芝诺悖论在邏輯推演的過程有錯誤,這個錯誤是屬於數學範疇的.也就是我們一直說,無數(要求嚴謹的話,可以用任意來取代無數)個點可以在有限的時間內通過. 而芝諾做了一個違背數學的推演
芝诺悖论和哲學有沒有關係不是我感興趣的, 因為沒有人能說清楚什麼是哲學, 但肯定可以在數學的範疇裡解決
两分法：无穷并非不可穷尽，无穷的时间点可以穷尽无穷的距离点！
阿基里斯追不上乌龟：无数个阿基里斯在乌龟后面的点，无法说明阿基里斯追不上乌龟，因为无穷的时间点可以穷尽无穷的距离点！
【转载】
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为什么啊？
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这是不是以事实反驳芝诺悖论呢？
这样有意义吗？
当时我是想如果每个距离点都有与之想对应的时间点，那么我可以用时间点来穷尽距离点，但后来我觉得这不是很恰当，现在已经改过了！
最新的版本为：
1、“两分法”
所谓的1/2点、1/4点、1/8点，代表的是1/2的距离、1/4的距离、1/8的距离，因此所谓的无穷，不过是指无穷小的距离！论证只是说明从A点到达B点必须先经过无穷小的距离，所谓的运动不可能发生，根本未得到论证！
2、“阿基里斯追不上乌龟”
所谓乌龟的原出发点，本身就是阿基里斯在乌龟后面的点，因此论证中只是说明了存在着无限个阿基里斯在乌龟后面的点，并未说明阿基里斯在追乌龟的过程中只存在阿基里斯在乌龟后面的点，（那运动可否跨越无限个点呢，可以，因为所谓的点都代表一定的距离，无限的点代表的可能是有限的距离），因此所谓阿基里斯追不上乌龟并未得到论证。
我想这应该已经找到芝诺悖论问题的根本点了，那就是有量概念的无量化！这就是问题的核心！
我们把第1次，第2次……第n次……第无数次的时间距离相加后发现，它们发生在有限的时空之内。
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这是不是以事实反驳芝诺悖论呢？
这样有意义吗？
昏死！！！我怀疑是不是用到“发现”这个词，whoybwhoyb又有意见。
如果我说：我们知道兔子现实中可以追上乌龟所以之诺错了。那么我是在用事实反对之诺，但现在我并没有这么做。
我在前面的证明中已经指出：之诺默认无数次（或任意次）动作须用的时间是无限的，因此他的“依此类推”是十分不严谨的。
“因此论证中只是说明了存在着无限个阿基里斯在乌龟后面的点，并未说明阿基里斯在追乌龟的过程中只存在阿基里斯在乌龟后面的点”
哈哈！这段话已经说明你慢慢的接近我们的观点了，你不觉得吗？我们只是跟进一步具体的指出：“存在着无限个阿基里斯在乌龟后面的点”，到达这些点时间之总和以及距离总和为两个常量。
一、自然界里兔子可以追上乌龟，不用废话！
二、数学几何法也可以证明乌龟肯定要被兔子追上；
三、纯逻辑方法，就麻烦了。你要证明A是G，先要证明A是B,B是C,C是D,D是E,E是F,F是G，最后你才能得出A是G的结论.如果这中间的步骤是无穷个呢?你就傻眼了,只好看着芝诺在一旁冷笑而一愁莫展!
四、纯哲学观点看，无怪乎时间可不可无穷分割，距离可不可无穷分割，瞬间又是什么？它根本不会考虑兔子追上追不上乌龟这种俗问题！
阿基里斯的速度为A
烏龜的速度为B
起跑时阿基里斯与烏龜的距离为C
假设在X时间追上了烏龜
列方程
AX=BX+C
解得
X=C/（A-B）
。。。。。。
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漂亮的方程式
我们把第1次，第2次……第n次……第无数次的时间距离相加后发现，它们发生在有限的时空之内。
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这是不是以事实反驳芝诺悖论呢？
这样有意义吗？
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不仅是“以事实反驳芝诺悖论”没有意义，而且言语上是矛盾的：
“‘无数次的’时间（或‘距离’）”，说明每一次都是“时间”的流逝，都有时间存在其中，只是这种时间已经是完全脱离人的任何时间感觉（如“瞬间”）的某种东西了（即实质上就是纯数学了），那么由于存在于其中的时间的“无数”性，就永远无法超越它。
“我们把第1次，第2次……第n次……第无数次的时间距离相加后发现，它们发生在有限的时空之内”－－－－－这其中的“第无数次”是个矛盾的说法，因为它企图把一个不确定的“无数次”以“第”一词来确定之。
如果“第”能成立，“无数次”就不是“无数次”；如果是“无数次”，就没有“第”一说。
作者：太空不锈 回复日期：2004-8-2 21:56:12
作者：whoybwhoyb 回复日期：2004-8-2 20:48:08
我们把第1次，第2次……第n次……第无数次的时间距离相加后发现，它们发生在有限的时空之内。
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。。。。。。
我在前面的证明中已经指出：之诺默认无数次（或任意次）动作须用的时间是无限的，因此他的“依此类推”是十分不严谨的。
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太空不锈，在判断“无数次（或任意次）动作须用的时间”是无限的还是有限的之前，你得先判断：“无数次（或任意次）动作”中的每一次是不是伴随着真实的时间？如果是，那么，之诺的“兔追不上龟”的结论就没有逻辑错误。
实际上呢，所谓“无数次（或任意次）动作”仅是思维的动作，它仅是一种循环类比的逻辑想象，与时间无关，也与数学无关。
很多人都做过这样的一类应用题：一列火车以200公里/小时的速度从甲地开往乙地，若甲乙两地相距200公里，则该火车到达乙地需几小时？
200/200=1（小时），即利用了上面的L/b公式。抛开芝诺悖论。很简单的一道数学或物理题，存在确定的距离，存在确定的速度，时间为路程与速度的比值。（尽管这种解法也是实际的抽象，但并不妨碍它的确定性。）
考虑芝诺悖论。L不确定，因为涉及到所谓要经过的无限的点;b不确定是否为零，即是否存在运动。不要说你眼睛看到阿基里斯跑了，芝诺可以说那是错觉。再重复一下，L/b的式子不回答能不能，只解决能的话是多少。
芝诺悖论本身的真假无所谓，我更关心这个问题带来的严谨性。
惊讶ing。
*******************************
好像看到柳腰微扭，杏核圆睁的在跳 ：）呵呵
春风杨柳腰也是玩逻辑，哲学的吧。抄了个微积分中关于极限的定义还把最关键的点给抄丢了：）连这个定义都没抄对，恐怕是一定更不理解实无穷、潜无穷了。看得出春风杨柳腰不能理解康托集论的意义，更不明白高斯关于无穷的感叹了。
不知道1；1/2；1/4没有单位就不能比大小，不清楚1米与1/2米的大小是怎么比出来的，糊涂着1吨和1/2吨的大小的比较。还能长篇大论。
惊讶ing。
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还张着嘴在惊讶呢？
“你全对”。
嘴巴合上没？
引进无限带来的悖论(转）
泽 熙
《墨子．经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。
２－１ 阿基里斯悖论
稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea），曾经提出过一些著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。
阿基里斯（Ａｃｈｉｌｌｅｓ）是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。
２－２ 二分法悖论
这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达Ｄ，它必须首先到达距离Ｄ的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了Ｄ。
这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。
芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有‘完善的无限’，而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在Ｔ时追上了乌龟，那么，“这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的，没有逻辑可靠。
他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运动佯谬：
２－３ “飞矢不动”
在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无限重复的静止就是运动？中国古代也有类似的说法，如：
２－４ “飞鸟之景，未尝动也”
这是中国名家惠施的命题，与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。
德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，称芝诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实，但为什么“不合逻辑”？因为芝诺运用了“无限”这个概念，这是一种逻辑上的假设，而现实世界里是不可能有无限者存在的，这就出现了假设与现实的矛盾。
尼采说道：在这两个悖论里，“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可能成为完善的，静止决不可能变为运动，那么，真相是箭完全没有飞动，它完全没有移位，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。
换句话讲，在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中，既没有时间、空间，也没有运动。最后，连箭本身也是一个虚象，因为它来自多样性，来自由感官唤起的非一的幻象。下面是尼采的分析：
假定箭拥有一种存在，那么，它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。这是一个荒谬的观念！
假定运动是真正的实在，那么，就不存在静止。因而，箭没有位置、没有空间。又是一个荒谬的观点！
假定时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念！
尼采得出这样的结论：我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”，就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空间；如果有绝对空间，就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有多样性；如果有绝对的多样性，就不会有统一性。
事实上，这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一，今天都已经得到了完美的解决，这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时，初创微积分，但由于没有巩固的理论基础，出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初，法国科学家以柯西为首建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。
可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动佯谬。感官不同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如果逻辑与现实发生矛盾，芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟，但他无法把它们综合起来。
２－６ “１厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”
多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔（１８４５－１９１８）六年以后向无穷宣战。他成功地证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。由于无限，１厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。
然而，康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突，遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议，他的成果才得到承认，几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”
同时，集合论中也出现了一些自相矛盾的现象，尤其是罗素的理发师悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”。此后，数学家们进行了不懈地探讨。
例如，一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》，这本书以罗素的《数学原理》（１９０３）为蓝本的，试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的ＩＦ（Independence-Friendly First-Order Logic）逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念，如公理集合论作为数学理论的适当框架，对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引起一场逻辑和数学基础的革命？我们还将拭目以待。
不代表本人认可其中观点!!!
本人并不认可上贴观点!!!!
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极限是对芝诺悖论错误理解而产生的妥协!
"太空不锈，在判断“无数次（或任意次）动作须用的时间”是无限的还是有限的之前，你得先判断：“无数次（或任意次）动作”中的每一次是不是伴随着真实的时间？如果是，那么，之诺的“兔追不上龟”的结论就没有逻辑错误。
实际上呢，所谓“无数次（或任意次）动作”仅是思维的动作，它仅是一种循环类比的逻辑想象，与时间无关，也与数学无关。"
没想到结构还在这个问题上徘徊：）。
我前面已经强调过：现实的时空是一会事，之诺体系的时空有是一会事（也就是你说的我们在思考之诺悖论时的那个“思维时空”）。
“你得先判断：“无数次（或任意次）动作”中的每一次是不是伴随着真实的时间？如果是，那么，之诺的“兔追不上龟”的结论就没有逻辑错误。”
叫我怎么说呢？我直觉你自己已经在之诺和现实的时空中迷失了。
这样来说把，每一次动作都伴随着时间的流逝，你可以把它看成之诺体系中的时间，这样动作是逻辑上的动作，时间也是逻辑上的时间了。
可能没有很好的把握你的意思，暂且那么表述了。
12．1 否定感官的悖论
另一个概念，内涵大于存在者这个概念，巴门尼德同样也已发现，虽然还不象他的学生
芝诺（Zeno）使用得那么精妙，这就是“无限”的概念。不可能有无限者存在，因为在这样
的假设中，会产生“一个完善的无限”这样一个矛盾的概念。假如我们的现实、我们现有的
世界处处具有这种“完善的无限”的性质，那么，按其本质来说，它就意味着对逻辑、从而
也是对实在的违背，因而是欺骗、谎言、幻觉。芝诺特别运用间接证明法，例如，他说：
“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有‘完善的无限’，而这
是不可能的。阿基里斯（希腊神话中的英雄Achilles）在赛跑中不可能追上起步稍微领先
的乌龟，因为他要到达乌龟出发的那一点，就必须已经跑完了无限的距离，也就是说，首先
跑完这段距离的一半，然后跑完四分之一，八分之一，十六分之一，如此以至于无穷。如果
他事实上追上了乌龟，那么，这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理、实在、真实的存
在，而仅是一种欺骗。因为，穷尽无限是绝对不可能的。”
这个理论的另一种通俗表达手法是“飞箭不动”。飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个位
置，它在这个位置上不动。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？无限重复的静止
就是运动，因而就是自身的对立面吗？在这里，无限被利用来作为化解现实的硝酸。但是，
如果概念是固定、永久、存在着的（在巴门尼德看来，存在与思维是同时发生的），也就是
说，如果无限是决不可能成为完善的，如果静止决不可能变为运动，那么，真相是箭完全没
有飞动，它完全没有移位，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。换言之，在这个所谓的、
终究只是冒牌的现实中，既没有时间，也没有空间，也没有运动。最后，连箭本身也是一个
虚象，因为它来自“多”，来自由感官唤起的非一的幻象。假定箭拥有一种存在，那么，它
就是不动的，非时间的，非造而有的，固定的，永恒的——一个荒谬的观念！假定运动是真
正的实在，那么，就不存在静止，因而，箭没有位置，没有空间——一个荒谬的观点！假定
时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割，箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目
的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子——一个荒谬的观念！
我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”
（veritas aeterna），就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空间；如果有绝对空
间，就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有“多”；如果有绝对的“多”，就不会有统
一性。
12．2 存在等同于思维
我们是否觉得，这样的逻辑思考揭示出有如上述那样的一些概念难以触及事物的核心或
解开实在的纽结？可是，巴门尼德和芝诺相反却坚持概念的真理性和普遍有效性，而把直观
世界当作这些概念的对立物，当作客观化的非逻辑之物和悖谬之物加以唾弃。
在他们的全部论证中，他们都从一个完全不可证明、甚至可能性不大的前提出发，这前
提便是：似乎我们在那种概念能力中拥有决定存在与不存在，即决定客观实在与非客观实在
的最高标准了。似乎概念不应当依据现实来验证和修改（而事实上它们却是从现实中派生出
来的），相反，概念应当衡量和判决现实，如果现实与逻辑发生矛盾，甚至应当指认其非。
为了替概念安排好这种判决权，巴门尼德必须把他唯一视为真正存在的那种存在划归概
念。现在，思维与那一个非生成的、完美的存在者不再可以被看作两类不同的存在，因为存
在不允许有两重性。于是，思维与存在同一这个极其大胆的念头便应运而生了。
在这里，直观性形式、象征、比喻都无济于事。这个念头是完全不可表象的，但它是必
要的。唯其缺乏任何感性化的可能，它更要欢庆自己对于世界和感官要求的最高胜利。说来
真令一切幻想相形见绌，按照巴门尼德所宣示的，思维与那个球形的、十足实心的、呆板不
动的存在必须合二而一，完全同一。就让这种同一性违抗感官好了！正是这一点至为有效地
保证了它并不是从感官而来的。
12．3 对概念世界的质疑
此外，还可以举出一对有力的论据——是基于人或基于共识的论据，来反驳巴门尼德；
它们虽然不能说明真理本身，却能说明感性世界与概念世界的绝对分离以及存在与思维的同
一性不是真理。
第一，如果运用概念进行的理性思维是实在的，那么，多和运动也必定具有实在性，因
为理性思维是运动着的，是从概念向概念的运动；换句话说，这是在多项的实在之间运动。
对此不存在任何遁词，决不可能把思维描述为一种呆滞的静态，一种永不运动的自我思维。
第二，如果感官只提供谎言和假象，实际上只存在着存在与思维的同一性，那么，感官
本身究竟是什么？显然只能是假象的一部分，因为，它不能等同于思维，同时，它的产品
（即感性世界）也不能与假象完全等同起来。然而，如果感官本身是假象，那么，它究竟是
缘何而起的假象呢？作为非实在的东西，它究竟如何还能骗人？不存在的东西根本不能骗
人。也就是说，虚幻和假象从何而来的问题始终是一个谜，甚至是一个悖谬。
我们把这两个论据分别称作关于理性之运转的驳议，以及关于假象来源的驳议。由第一
点可以推论出运动和多是实在的，由第二点可以推论出巴门尼德式的假象是不可能的。两者
的前提都是，巴门尼德那个关于存在的主要理论是可据信的。但是，这个理论仅仅意味着：
只有存在者具有一种存在，不存在者不具有一种存在。
然而，如果运动是这样一种存在，那么，凡是一般来说以及在一切场合适用于存在者的
东西，同样也适用于运动。这就是说，运动是非生成的，永恒的，不灭的，不增不减的。
同时，如果借助于假象从何而来这个问题，我们否认这个世界是假象，如果我们捍卫所
谓生成、变化——我们这个多样化的、生生不息的、丰富多采的生存舞台，使之不遭到巴门
尼德式的唾弃，那么，我们就必须把这个变动不居的世界描述为这些真正存在着的、同时存
在于整个永恒之中的本质的总和。
在原来那个假设下，也容不下狭义的变化或生成。但是，现在“多”具备了一种真正的
存在，所有的质具备了一种真正的存在；运动也同样如此。而且，对于这个世界的每个瞬
间，哪怕随意选取相隔千万年的瞬间，我们都必定可以说：其中一切真正的本质，全都是同
时存在于此的、不变的、不灭的、不增不减的。一千年后它们依然如故，丝毫不变。
如果说，尽管如此，世界看起来仍然时刻不同，那么，这不是哄骗，也不只是假象，而
是永恒运动的结果。真正的存在者是时而这样、时而那样地运动着的；它们彼此间时而结
合，时而分离；时而向上，时而向下；时而内向，时而迸奔八方。
当人们把不同层次的存在混为一谈就会产生悖论（旧文重贴）
有人讲“芝诺悖论”以及科学与哲学之关系时说道：“阿基里斯在一个有限的时间段内追上了乌龟。”————其实在现实中从来没有发生过这类事情。现实中的情况有两种：1、人的脚在到达一个与龟最近的地点以后就绕过它继续前进了；2、人脚上的分子与龟体中的分子距离近到分子之间互相排斥的程度，两方面相互接触的距离还远远大于零，却使人脚与龟体都受了伤。现实中，如果人脚在严格微观意义上与龟体进行零距离亲密接触，那么会引发比核聚变还要猛烈的爆炸。
也就是说，当一个人一脚踢死了一只乌龟，人们就从观念上认为这个人已经接触了乌龟，从龟体与人脚整体的层次上来看也确实是如此，但是，从现实层面即纯物理微观意义上，人体分子与龟体分子之间的距离还远没有小到零。总之，当人们把不同层次的存在混为一谈就会产生悖论，又例如：
一头牛向前走，猎人从牛的后面向它射击。此时一位数学家对猎人说：“子弹永远不会打到牛的身上，原理如下：枪口在a点，牛在b点，子弹的速度无论多么快，从a点飞到b点也需要一段时间。而在这一段时间里，牛的速度无论多么慢，也已经从b点向前移动到c点。同理，子弹从b点飞到c点又需要一段时间，而牛则又在此时间内从c点向前移动到d点。以此类推，子弹只会不断靠近牛，永远不会击穿牛”。实际情况是：枪响后牛应声倒地。在这一则所谓“芝诺悖论”中，那位数学家的推理过程是有趣的，但他错把实物层次具体存在的牛与思维层次数学抽象的“点”混为一谈，从而忽略了现实中的质变临界值。数学中所谓“点”是个抽象概念，既可以把牛看成是一个“点”，也可以把牛看成是由无限多个“点”构成的集合。现实中的情况是：牛在分子这一微观层次上是由有限多个分子构成的（在原子微观层次上只是原子的个数会多一些），如果不发生化学反应，则子弹表层分子与牛体分子之间确实不会接触到“亲密无间”的程度，但是，当子弹与牛体不断靠近达到超短距离后，子弹的冲力与分子间的排斥力同时发挥作用，牛体中靠近子弹的分子就不能继续与牛整体向前行走的速度保持同步，而是只好按照子弹前进的速度纷纷避开子弹分子，于是子弹就击穿牛体。当然，即使改用数学中的极限理论进行推算，应用到现实当中也必须兼顾具体的物理条件，如果两个“点”代表的任何两个物体都能轻易重合，那么人双手互拍就会发生核聚变。
对数学原理一知半解，知其然不知其所以然！
迷信公式，死搬教条
学数学怎么学成这样呢！
TakeIt: 呵呵，你应该是第一个，不觉得么？
对数学原理一知半解，知其然不知其所以然！
迷信公式，死搬教条
学数学怎么学成这样呢！
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我還真有興趣知道樓上的在那一個數學原理上比我更知其所以然
这不是个数学问题，这是个宗教学理问题。为什么这么说呢？只问一条：这个问题会难倒一个冥想打坐的修行者么？
阿弥陀佛！空去
这不是个数学问题，这是个宗教学理问题。为什么这么说呢？只问一条：这个问题会难倒一个冥想打坐的修行者么？
阿弥陀佛！空去
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同样的道理，这个问题会难倒一根木头么？
“一半的一半”这种纯逻辑语言所描绘的两者，是只有“比” 而没有“比值”的。这个“比”意味着什么？如果你确信它与时空有关，那么这个“比”就只能是也仅仅是“现在”与“将来”这两个含义，并且，当将来转到现在时，一个新的将来又必然出现。不要去设想这个将来是亿亿分之一秒还是亿亿年，因为这种“值”不存在于悖论中，所以，兔与龟之间的实质并不是空间，而是时间。但又不是具体的时间，而是标准的“将来”。谁能到达将来？就是上帝恐怕也难！
1.我沒有興趣幫人補習數學.
2.數學上的極限和無窮是兩個概念
3.想在數學上挑戰我, 你先把高中數學讀好再說
１、你错误的地方，我前面针对太空不锈的回答已经指出了，请详查！
２、等了半天，你就这样的回答，真令人失望啊，这是学数学的结果么？呵呵：）
誰都知道芝諾的說法不符合事實.
從一個正確的事實(即正確的前提),到一個錯誤的結論,必然是推論過程出錯.這是邏輯.
要證明一個推論過程錯了,並不是純粹邏輯,因為每一個推論都引入一個新‘公理‘.如果引用的公理不正確, 或者不適用, 就有可能導致錯誤.證明推論錯誤,實際上是證明引用的公理不正確, 或者不適用.
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呵呵，这是数学上规定的，还是你发明的？
不过没理解之诺悖论
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这句话最有意思，也可以改称3、“科学止步的地方，就是宗教运思的空间。”3、“科学止步的地方，就是占星术运思的空间。”
3、“科学止步的地方，就是邪教运思的空间。”
总之一切形形色色的伟科学只敢去解决科学尚未弄清楚的问题。
另外一个就是中医了，中医解决的也都是一些西医解决不了的疑难杂症，当然西医能解决的，中医是不屑于去解决的
一个新论坛: www.6428.net
凡间真的有悖论这件事么？
凡间之熙往，又什么不是悖论呢？
空去
1、懂点数学的对之诺悖论可以说高度统一了观点。比如我和TakeIt、太极螳螂……
至于懂点哲学的，各有各的理论：）
联想：真理只有一个，谬论可以是无数个。走对路只有一个终点，走错了终点就不止一个。
2、都说之诺悖论引起数学危机，但没听说引起哲学危机。
联想：数学至少会知道自己错在什么地方，懂得改进。之诺悖论引起数学危机恰恰是数学的骄傲。
哲学一直以为可以搞定之诺悖论，到今天还是这样。
知道自己错了的可以改，不知道自己错的不可以改。
再继续聊：
“一半的一半”这种纯逻辑语言所描绘的两者，是只有“比” 而没有“比值”的。这个“比”意味着什么？如果你确信它与时空有关，那么这个“比”就只能是也仅仅是“现在”与“将来”这两个含义，并且，当将来转到现在时，一个新的将来又必然出现。不要去设想这个将来是亿亿分之一秒还是亿亿年，因为这种“值”不存在于悖论中，所以，兔与龟之间的实质并不是空间，而是时间。但又不是具体的时间，而是标准的“将来”。谁能到达将来？就是上帝恐怕也难！
作者：whoybwhoyb 回复日期：2004-8-5 14:07:09
结构兄妙论！"
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竟然将时间、运动、空间、速度这样赤裸裸得分离。你们的哲学理论你们说了算。
哲学真的很有霸气，说什么是什么，可惜我不太懂：（
http://www2.tianyaclub.com/new/techforum/Content.asp?idWriter=0&Key=0&idItem=180&idArticle=532628
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单一的僵化性思维导出的观点自然是高度统一的，这与数学无关，与死学数学有关！
悖论中，认为运动必须逐一经过每个点，而点数又是无穷的，所以运动将无法开始（或到达）。但悖论中却不把运动者移动的距离也分解为无数个点，也就是运动者其实可以在任意一个时间段里通过无数个长度上的点。--以无数达到无数，以尺子量绳子。
不用对那个whoybwhoyb说，他死活听不懂的。完了他还特坚持己见。真正服了他糊涂透顶的思维和思维方式。
仅仅再次友情提醒一下解决了悖论的数学家们，你们使用的工具太粗糙了，柯西的极限也只是对无穷的一种认识，是不完全的。运动公式的使用前提是存在运动。
----石狮人----
2004年5月12日早上六点多钟,我的三层楼房(延芳楼)被石狮市人民政府强制拆迁。
我接到石狮市人民法院的通知书(六点左右),通知我到拆迁现场,但我骑摩托车一赶到现场,房子已经拆了一半,我的摩托车还没停下来,就被现场人员把我的摩托车推倒在地,我声明我是房主,现场执行的公安人员不容我分说就把我强按倒在地,把我的脸强压在地,让我疼得不能喊叫(我一再声明我是楼房的主人),用手铐把我强铐起来,铐完后才让我站起来。对一个老人（我1953年生）在众目睽睽（有几百人在看）下动用十来个身强力壮的警察采取如此暴烈手段；我大喊“法西斯暴行”,“共产党的政府是这样的吗”。他们恼羞成怒把我抓上警车送到石狮人民法院。在法院里,我说我有你们法院刚才送到我家里的通知我到拆迁现场的通知书,要求他们先解开我的手铐好拿给他们看,他们推说没钥匙也没权打开手铐。我的手是被铐在背后的,拿不到上衣口袋里的通知书,我只好叫他们在我的上衣口袋里拿通知书。看完后,他们还是说我是越过拆迁警戒线(难道我要到拆迁现场不要越过警戒线吗?)判我行政拘留15天,把我送到拘留所后,才拿出钥匙解开我的手铐,由于锁得太紧时间又太长,致使我的手腕里面:瘀血发青,到现在(已有二十天)手背还在发麻！
其实在拆迁现场的大部分人员应该都认得我,知道我是楼房的主人,但他们大部分人根本就不知道我是接到法院的通知书才赶来的(我不能不来,在通知书上还有“拒不到场”……)我是在现场头头的命令下“把他按倒在地，抓起来”而受此法西斯暴行的,这些头头说不定是按他们的上司的暗中旨意对我进行报复的.(为了拆迁我们被拆迁户有几十个人正在跟市政府打官司,他们会不恨我吗?)那个把我的摩托车推倒在地的湖滨办事处曾主任还曾为了说服我先让他们拆掉房子然后再来谈补偿协议而握过手.(当官的就这样,需要你的时候把你奉为上宾,不要你的时候把你踩在地下)如果是理直气壮的强制拆迁是应该提前几天通知我们的,那有连执行人员都是到现场后才知道是要强制拆迁的,虽然他们调动了有几百多人,但我感到决策者是心虚的!他们将付出的巨大的代价!
石狮市人民政府(以下简称政府)对我的房子强制拆迁合法吗?
整个商业步行街的拆迁范围(拆迁红线)是政府制订的,在红线内,那怕是你房子的一个小角也照拆不误,(但就在红线中有一幢十五层高的大楼因地平面不大拆了要赔钱政府说不拆就不要拆);
又是政府指定让他的下属机构湖滨房地产开发有限公司既当拆迁人又是开发商(虽然资格多方不够)
又是政府制订的拆迁补偿方案不让你有讨价还价的余地(暗中背后的补偿例外!)你要是不同意他的方案他就向法院申请(是申请还是下令???)强制拆迁!
对法院的判决你有不服向法院提起行政诉讼,法院要不要立案受理又要征求政府的意见! (我们几十户被拆迁人在石狮市人民法院的行政诉讼案到现在都三个多月了还没开庭!)
石狮市人民政府既是裁判员(法院)又是运动员(拆迁人).作为一个弱小的个体(政府一直采取各个击破的非法手段,在整个商业步行街我并不是最后的所谓钉子户,到现在为止,还有差不多二十户人家没被拆,我只不过是被当成杀鸡给猴看的典范而已,实在可悲!)的被拆迁户我有啥能耐呢!作为一个国家公民我有啥合法不合法可言,我的合法权益是受谁保护呢!!!
到拘留所里我才知道和我一起被抓的还有另一个也是被拆迁户的难友吴先生,他的罪名是对拆迁现场现况和我在现场被抓的整个过程进行拍摄,我们拍摄的目的只不过是为了以后在法庭上(就我的房子强制拆迁问题在石狮市人民法院立了行政诉讼,到现在已快三个月还没开庭)有所依据,我们的房子被强拆,难道我们把整个过程拍摄下来也犯法吗?我们没有保留证据以便以后反驳申诉的权利吗!如果真的连这份权利都没有的话,制止或警告一下,最多也就把拍摄的内容删除掉不也够了吗?难道非要采取没收摄像机,强行把他的双手扣上手铐抓起来行政拘留十五天这种暴烈手段吗?中华人民共和国的公民还有啥基本权利可言!我们这些弱势群体就该这样任人宰割吗!!!
且看石狮市人民政府对我一个普通公民的所作所为:
石狮市人民政府有权对我的房子下达强制拆迁命令吗?(在石狮市有线电视广播屏幕上是石狮市人民政府的两个副市长双手往下一压的动作下达的拆迁命令,虽然仅仅只播出了一个晚上)
我是先接到也是被拆迁户打给我的电话说已在强拆我的房子,但我不信,以为是在开玩笑,然后才收到法院给我的通知,虽然是强制拆迁,法院既然给我发了拆迁通知书通知我到拆迁现场,在我还没到现场给我的房子打开房锁以便检查之前,(除非我抵制) 石狮市人民政府可以下达拆迁命令吗?
假如我真的是越过了法院所说的所谓拆迁警戒线(拆迁现场是在警戒线内还是外)有权阻止和抓我的也只能是法警,怎么会是湖滨派出所的公安人员呢?我的房子突然间被拆，(就是否强制拆迁我的房子一事问过湖滨办事处,洪主任说如果有这回事的话,得起码提前几天发出通知)心情大家一定可以理解,就是有所谓的越过警戒线,也不至于要受到被强按倒在地被扣上手铐行政拘留十五天的严重侵犯人权的处罚!
在拘留所里,其他人可以请求打电话给家属,为啥就我们不行(拘留所长说是市里特别交代)难道我们是政治犯而受此非人道拘禁！
由于我们被拆迁户代表和全部被拆迁户义正词严的强烈抗议,法院已决定放人,但就是市政府坚持不放, 石狮市人民政府有权干涉法院的决定吗?（后来由于中央电视台记者到石狮就强制拆迁一事作了采访和议论界的强大压力，石狮市人民政府才被迫在第七天答应法院给我们解除拘留）
就算强制拆迁是合法的,到现在我家没拿到一分钱的补偿和安置金,也没拿到一张怎样处理我的房子的契约据条，我的房子就这样被石狮市人民政府没收了吗?就象中央电视台记者对我们被拆迁户代表的顾虑所提的疑问“石狮还有共产党吗”！
难道石狮真的没有了共产党!!!
楼上的“二少”没超过40吧，是个菲尔兹奖的好苗子啊！岁数大了也没关系，还有沃尔夫奖和阿贝尔奖撑着呢：）
楼主也牛啊，但估计就这么三言两语的是没法打发评委会啊：）
这确实是个数学问题，还是个难缠的老问题。对于无限的认识还是太有限了。
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本人尚在大学中,学的就是数学,用计算机来解决数学问题.
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LoneTraveler兄: 这句话说得好!
还有一个悖论：一粒米落到地上听不到声音，两粒米也听不到……如此推下去岂不是一袋米落到地上都听不到声音了？
请高手帮解答一下
还有一个悖论：一粒米落到地上听不到声音，两粒米也听不到……如此推下去岂不是一袋米落到地上都听不到声音了？
请高手帮解答一下
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不是没有声音,只是声音很小而已,用科学仪器是可以听到的,而人的听力有限,当许多米粒同时掉地上,许多米粒的声音加在一起当然就听到了,这就是积累.
这不是悖论.
就跟人活了一天不死,两天不死,^^^^^^到了30000天可能就死了是一个道理.
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我們不談玄學, 不談惟心.
另外,友情提醒一下哲學家, 不懂數學,就不要對數學指指點點.再友情奉送一句:"思而不學則怠"為什麼你們鑽牛角尖,因為你們學得太少了.
反正無聊, 我做個數學解.(參考太空不鏽的解法).
A.阿基里斯追不上乌龟的數學表達
1.設阿基里斯速度為a,乌龟為b. a > b > 0.距離為D0
2.Dn 為阿基里斯到達乌龟第n個出發點所前進的總距離
3.dn 為Dn - D(n-1)
4.阿基里斯完成dn 時, 烏龜向前爬了 dn/a*b, 故d(n+1) = dn/a*b
5 由於不存在dn <= 0, 所以不存在阿基里斯追上了烏龜
B証偽
顯然當 t > D0 /(a-b),阿基里斯追上了烏龜
對於這一點有懷疑的話, 我建議你去特殊學校補習數學.
C找出推論的漏洞
1.補充定義
追不上:當時間趨向無窮,阿基里斯在烏龜後面
2.補充A5
當n趨向無窮,t趨向無窮, 由於不存在dn <= 0,
所以當t趨向無窮,不存在阿基里斯追上了烏龜.
3.錯誤在於:
當n趨向無窮,t並不趨向無窮,而是趨向D0/(a-b).
好了, 現在請各位哲學系的同學不要害羞,積極發問.
作者：whoybwhoyb 回复日期：2004-8-2 17:33:42
TakeIt你太复杂了
阿基里斯的速度为A
烏龜的速度为B
起跑时阿基里斯与烏龜的距离为C
假设在X时间追上了烏龜
列方程
AX=BX+C
解得
X=C/（A-B）
所以阿基里斯在C/（A-B）后追上烏龜
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你看了Whoybwhoyb对你错误的证明难道还不明白这个道理吗：有速度，并且比乌龟快的阿基里斯当然会追上乌龟了！漂亮、简洁的L/b就是最好的证明。至于你证明中速度公式下面的极限一类的花头就更是脱了裤子放屁了，感觉只是为了极限而极限，显得你数学学的很多。
实际上我上面已经说过了：一，几十个世纪的风风雨雨，早已把芝诺悖论的求解深入化，严格化了。抠字面、磨嘴皮子的方法已经很不合时宜了；二，仅仅再次友情提醒一下解决了悖论的数学家们，你们使用的工具太粗糙了，柯西的极限也只是对无穷的一种认识，是不完全的。运动公式的使用前提是存在运动。如果你真觉得自己数学学的好就请按如下思路证明：1，阿基里斯动了；2，运动的阿基里斯何时能追上运动的乌龟。前面你和太空不锈实际上都只能认识并解决第二个问题，别和我说你用眼睛看出来了，至少要有基本的数学素质吧。不锈说你俩和太极螳螂对芝诺的问题都高度统一，但我觉得螳螂至少也是学过集合论的，不至于像你这么高数至上。从你对春风杨柳腰错误的改正还以为你真的有货，现在看来错了，不过还是比柳腰强。
佩服Whoybwhoyb虚心探索，虽然这个芝诺带来的问题不是三两句话就说的清的，但研究芝诺悖论带来的副产品还是很丰富的：）
可以用簡單工具解決的,當然用簡單的.
而且,你懂集合論嗎?我跟你講不可數無窮, 恐怕你的漿糊腦袋受不了.
看来你真的是很喜欢脱了裤子放屁的，或者真的是脑袋太混乱了吧！你错就错在没有考虑为什么能用简单工具就当然的用了简单工具。实际上你始终没有考虑过能不能的问题，一直是在能的前提下矫揉造作的堆砌数学概念，华而不实。不愿用简单工具的正是你自己，whoybwhoyb已经指出你的可笑之处了，不再赘述。
“而且，你上幼儿园了吗？我和你讲6+6=12，你的手指头都不够用了”-_-几岁了，孩子？已经好久没听过你这么质朴的童音了：）说你爱玩花头，拍数学名词，你还就开始表演了！开动你的那个圆东西，选个标准的、花哨、时髦点的不是更能显示你的渊博吗！咬了咬牙，“我跟你講不可數無窮, 恐怕你的漿糊腦袋受不了.” -_-
而本人也沒有賣弄名詞的習慣,告訴你不可數無窮, 只是要說明讀過集合論,不過是不需要用.
還有,我說的數學名詞是很淺的,只要學過點數學的都會,不需要高等數學,只要高中就行了.
另外我知道你數學不過關, 我就再重複一次
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芝诺悖论,並不是什麼千古難題, 每一個小學生都可以証偽,
只要學過級數,更可以輕鬆的找出破綻的所在.
當然,前提是你要信論數學.
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whoybwhoyb的是証偽,用上無窮是為了指出哪個邏輯環節出錯.
當然令我失望的是,這麼多讀哲學的邏輯不過關,這就等於讀工程的數學不過關一樣, 是废品.
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呵呵，说个不可数无穷你就读过集合论了。读过哪种集论?朴素的还是公理的？你也用不着急于表白了，我也不是招聘的，你的混乱证明就足够了说明问题了。另外我知道你脑子思维太直线，想问题表面化。
TakeIt你太复杂了
阿基里斯的速度为A
烏龜的速度为B
起跑时阿基里斯与烏龜的距离为C
假设在X时间追上了烏龜
列方程
AX=BX+C
解得
X=C/（A-B）
所以阿基里斯在C/（A-B）后追上烏龜
小芝的错误就是将时间限制在C/（A-B）以内
这样是不是更简单些？
可是这是在说废话！
以事实反驳小芝，是没有意义的！
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TakeIt,你仔细看清楚!你那些复杂混乱的表述说的不过是以上的内容！长期使用数学语言的人是不会象你表达得那样烦琐杂乱的，说实在，我有点怀疑你的数学素养！
————楼上各位怎么吵上了？
从根本上说数学是怎样产生的？应该是在对具体事物进行分析之时产生的，是以具体事物为基础的抽象，所以不应该让数学脱离物理过远：如果仔细想一想量子力学中的基本观点，就会发现芝诺的一些思路是有实际道理的———连续的能量是由一份一份组成的。
首先提醒某個自以為語文不錯的,自我感覺良好的,也就是那個LoneTraveler,"老羞成怒"和"惱羞成怒"都有人用,至於用哪個是習慣問題,比如說金庸,就喜歡用"老羞成怒"
其次提醒whoybwhoyb, 不懂就問嘛,我們又不會不教你. 我知道你數學也不好, 但怎麼也謙虛一點嘛
首先提醒某个自以为语文不错的，嫉妒别人感觉良好的，也就是那个TakeIt, 何止金庸会说老羞成怒，我们这里的大舌头也都这么说的。
其次提醒某个张口闭口以数学老师自居，错觉自己具备数学能力的，也就是那个TakeIt，你根本就是不知道芝诺悖论在说什么就急着出来表演，看看你的混乱证明吧，典型的故作深奥，故弄玄虚。而且，你懂数学吗？我跟你讲芝诺悖论涉及到对运动的否定和对无穷及实数的深入认识以及能和能的话何时追上是两个问题，恐怕你又觉得是在讲玄学了。不懂就問嘛,我們又不會不教你. 我知道你數學也不好, 但怎麼也謙虛一點嘛。哈哈：）
咱數學不怎麼樣, 一直都說我的證明只是高中的水平就可以明白.
絕對沒有深奧的東西.
芝諾問題涉及的無窮, 只要用極限論,潛無窮的方法就能解決,不算特別難. 而極限論是微積分的第一課, 並沒有什麼特別了不起的地方.
所謂芝諾問題引起的數學危機, 和解答芝諾問題關係不大,主要是一個問題, 我們該怎樣定義無窮.
给大家介绍一个新论坛：http://www.6428.net
又来新的，炫耀吗？
从哲学意义上说，阿基里斯追乌龟的例子说明一个道理，就是：有限也可以包含无限。
从小学程度的数学意义上说，就是无穷小数必然小于某个特定的数。哈哈哈
但老K认为，前两个悖论不足以否定时空的连续性。因为有限也可以由无限构成。因此时空的连续性最终得到证明。
欢迎哲学家们拍砖。哈
运动这个概念本来就是在连续的时空坐标系中才能够出现的。在不存在时间的空间坐标系中，一切都是静止的。也许这就是“巴门尼德的宇宙"。但万物不动这个命题，恐怕只能也存在于巴门尼德的宇宙而已。
根据量子物理学观点，能量是以量子的形式一份一份发射和吸收的，运动不是连续的，空间和时间也不是无限可分的，量子，就是最小的单位
——
这样才能最好地解释芝诺悖论
